Calcule e esboce os conjuntos descritos nos itens a seguir:
A intersecção do hiperbolóide de duas folhas com centro em C=(1,2-1) e a=3, b=5, c=raiz7, disposto sobre o eixo O x, com o plano x=-5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular e esboçar a intersecção de um hiperbolóide de duas folhas com certas características com o plano . Para isso, vamos precisar usar a equação do hiperbolóide de duas folhas e fazer a substituição das coordenadas do plano para encontrar a interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a equação geral de um hiperbolóide de duas folhas. Quando ele está centrado no ponto (y - k)^2b^2 + (z - l)^2c^2 - (x - h)^2a^2 = 1 e alinhado sobre o eixo , a equação fica assim:
Aqui, , e são parâmetros que determinam a forma do hiperbolóide.

Passo 3

No nosso caso, o centro (y - 2)^25^2 + (z + 1)^2(raiz7)^2 - (x - 1)^23^2 = 1 é (y - 2)^225 + (z + 1)^27 - (x - 1)^29 = 1 , e os valores de , e são 3, 5 e , respectivamente. Substituindo esses valores na equação, temos:
Simplificando:

Passo 4

Agora, queremos encontrar a interseção desse hiperbolóide com o plano (y - 2)^225 + (z + 1)^27 - (-5 - 1)^29 = 1 . Para isso, vamos substituir 369 = 4 por -5 na equação do hiperbolóide:
(y - 2)^225 + (z + 1)^27 - 4 = 1
Calculando o termo :
Então, a equação fica:

Passo 5

Vamos isolar os termos com (y - 2)^225 + (z + 1)^27 = 5 e (y - 2)^2125 + (z + 1)^235 = 1 para entender melhor a forma da interseção:
Dividindo ambos os lados por 5 para simplificar:

Passo 6

Essa é a equação de uma elipse no plano , onde os eixos da elipse estão alinhados com os eixos e . Os denominadores e indicam os comprimentos dos semieixos da elipse.

Resposta

A intersecção é uma elipse no plano (y - 2)^2125 + (z + 1)^235 = 1 com a equação:

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