Calcule e esboce os conjuntos descritos nos itens a seguir:
A intersecção do hiperbolóide de duas folhas com centro em
e
, disposto sobre o eixo
, com o plano
.
A intersecção do hiperbolóide de duas folhas com centro em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular e esboçar a intersecção de um hiperbolóide de duas folhas com certas características com o plano
. Para isso, vamos precisar usar a equação do hiperbolóide de duas folhas e fazer a substituição das coordenadas do plano para encontrar a interseção.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a equação geral de um hiperbolóide de duas folhas. Quando ele está centrado no ponto
e alinhado sobre o eixo
, a equação fica assim:
Aqui,
,
e
são parâmetros que determinam a forma do hiperbolóide.
Passo 3
No nosso caso, o centro
é
, e os valores de
,
e
são 3, 5 e
, respectivamente. Substituindo esses valores na equação, temos:
Simplificando:
Passo 4
Agora, queremos encontrar a interseção desse hiperbolóide com o plano
. Para isso, vamos substituir
por -5 na equação do hiperbolóide:
Calculando o termo
:
Então, a equação fica:
Passo 5
Vamos isolar os termos com
e
para entender melhor a forma da interseção:
Dividindo ambos os lados por 5 para simplificar:
Passo 6
Essa é a equação de uma elipse no plano
, onde os eixos da elipse estão alinhados com os eixos
e
. Os denominadores
e
indicam os comprimentos dos semieixos da elipse.
Resposta
A intersecção é uma elipse no plano
com a equação: