Seja L=(cccos theta & sin theta -sin theta & cos theta) :
(a) Encontre a forma mais simples para a matriz L^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a forma mais simples da matriz L = cos theta & sin theta -sin theta & cos theta , onde é dada por:
Aqui, a gente está lidando com matrizes e precisa saber como multiplicar matrizes para achar . Ou seja, vamos multiplicar a matriz por ela mesma.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como multiplicar duas matrizes. Se temos duas matrizes cij = ai1b1j + ai2b2j e , a matriz resultado tem os elementos calculados assim:
Ou seja, cada elemento da linha de é multiplicado pelos elementos da coluna de e depois somados.

Passo 3

Aplicando isso à nossa matriz L^2 = L times L = cos theta & sin theta -sin theta & cos theta times cos theta & sin theta -sin theta & cos theta , temos:
cos theta times cos theta + sin theta times (-sin theta) = cos^2 theta - sin^2 theta
Vamos calcular cada elemento de cos theta times sin theta + sin theta times cos theta = 2 sin theta cos theta :
  • Primeiro elemento (1,1):
-sin theta times cos theta + cos theta times (-sin theta) = -2 sin theta cos theta
  • Segundo elemento (1,2):
-sin theta times sin theta + cos theta times cos theta = cos^2 theta - sin^2 theta
  • Terceiro elemento (2,1):
  • Quarto elemento (2,2):

Passo 4

Agora, vamos simplificar usando identidades trigonométricas conhecidas:
cos^2 theta - sin^2 theta = cos 2theta
2 sin theta cos theta = sin 2theta
-2 sin theta cos theta = -sin 2theta
Substituindo essas identidades na matriz L^2 = cos 2theta & sin 2theta -sin 2theta & cos 2theta :

Resposta

A forma mais simples para a matriz L^2 = cos 2theta & sin 2theta -sin 2theta & cos 2theta é:

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