Seja L=(cccos theta & sin theta -sin theta & cos theta) :
© É possível generalizar uma forma simples para a matriz L^k, onde k é um número inteiro positivo? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma matriz que depende de um ângulo e pergunta se conseguimos encontrar uma forma simples para , onde é um número inteiro positivo. Estamos lidando com matrizes e potenciação de matrizes, então vamos precisar entender como multiplicar matrizes e explorar as propriedades específicas dessa matriz .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que multiplicar uma matriz por ela mesma vezes é o que chamamos de potência da matriz, ou seja, (k vezes). Quando trabalhamos com matrizes que representam rotações, como a matriz aqui, cada multiplicação representa uma rotação adicional de graus.

Passo 3

Vamos analisar a estrutura da matriz L = cos theta & sin theta -sin theta & cos theta :
Essa forma é semelhante à matriz de rotação, mas notamos que o sinal do na primeira linha é positivo e na segunda linha é negativo, o que ainda representa uma rotação no plano.

Passo 4

Sabemos que, ao multiplicar matrizes de rotação, os ângulos se somam. Portanto, se aplicarmos a matriz vezes, estamos efetivamente rotacionando vezes o ângulo . Isso nos leva a pensar que será uma matriz de rotação com o ângulo .

Passo 5

Vamos formalizar isso. Se L^k = cos(ktheta) & sin(ktheta) -sin(ktheta) & cos(ktheta) representa uma rotação de , então:
Isso porque cada multiplicação por adiciona mais um ao ângulo total da rotação.

Resposta

Sim, é possível generalizar. A matriz L^k = cos(ktheta) & sin(ktheta) -sin(ktheta) & cos(ktheta) é dada por

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