Seja
:
© É possível generalizar uma forma simples para a matriz
, onde
é um número inteiro positivo? Justifique sua resposta.
© É possível generalizar uma forma simples para a matriz
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma matriz
que depende de um ângulo
e pergunta se conseguimos encontrar uma forma simples para
, onde
é um número inteiro positivo. Estamos lidando com matrizes e potenciação de matrizes, então vamos precisar entender como multiplicar matrizes e explorar as propriedades específicas dessa matriz
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que multiplicar uma matriz por ela mesma
vezes é o que chamamos de potência da matriz, ou seja,
(k vezes). Quando trabalhamos com matrizes que representam rotações, como a matriz
aqui, cada multiplicação representa uma rotação adicional de
graus.
Passo 3
Vamos analisar a estrutura da matriz
:
Essa forma é semelhante à matriz de rotação, mas notamos que o sinal do
na primeira linha é positivo e na segunda linha é negativo, o que ainda representa uma rotação no plano.
Passo 4
Sabemos que, ao multiplicar matrizes de rotação, os ângulos se somam. Portanto, se aplicarmos a matriz
vezes, estamos efetivamente rotacionando
vezes o ângulo
. Isso nos leva a pensar que
será uma matriz de rotação com o ângulo
.
Passo 5
Vamos formalizar isso. Se
representa uma rotação de
, então:
Isso porque cada multiplicação por
adiciona mais um
ao ângulo total da rotação.
Resposta
Sim, é possível generalizar. A matriz
é dada por