Calcule o estado resultante da aplicação dos operadores de Pauli:
Passo 1
Estamos querendo calcular o estado resultante da aplicação dos operadores de Pauli $ Z^{217} X^{101} Y^{50} $ no estado quântico $ \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle $. Para resolver isso, vamos precisar entender como os operadores de Pauli $ X $, $ Y $ e $ Z $ atuam nos estados básicos $ |0\rangle $ e $ |1\rangle $, além de simplificar os expoentes desses operadores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que cada operador de Pauli faz:
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Operador $ X $: Funciona como uma porta NOT quântica, ou seja, troca $ |0\rangle $ por $ |1\rangle $ e vice-versa.
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Operador $ Y $: Além de trocar $ |0\rangle $ e $ |1\rangle $, ele adiciona uma fase imaginária.
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Operador $ Z $: Adiciona uma fase de -1 ao estado $ |1\rangle $, mantendo $ |0\rangle $ inalterado.
Passo 3
Observamos que os operadores de Pauli têm uma propriedade interessante quando elevados a potências:
onde $ I $ é a matriz identidade. Isso significa que qualquer potência de um operador de Pauli pode ser simplificada usando a periodicidade 2. Vamos simplificar os expoentes:
Portanto, a expressão original simplifica para:
Passo 4
Vamos aplicar os operadores um por um. Primeiro, aplicamos o operador $ X $:
Agora, aplicamos o operador $ Z $ no resultado:
Resposta
O estado resultante é $ \beta|0\rangle - \alpha|1\rangle $.