Calcule o estado resultante da aplicação dos operadores de Pauli:
Z^217 X^101 Y^50(alpha|0rang<=+beta|1rang<=)

Passo 1

Estamos querendo calcular o estado resultante da aplicação dos operadores de Pauli $ Z^{217} X^{101} Y^{50} $ no estado quântico $ \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle $. Para resolver isso, vamos precisar entender como os operadores de Pauli $ X $, $ Y $ e $ Z $ atuam nos estados básicos $ |0\rangle $ e $ |1\rangle $, além de simplificar os expoentes desses operadores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que cada operador de Pauli faz:
  • Operador $ X $: Funciona como uma porta NOT quântica, ou seja, troca $ |0\rangle $ por $ |1\rangle $ e vice-versa.
    X
  • Operador $ Y $: Além de trocar $ |0\rangle $ e $ |1\rangle $, ele adiciona uma fase imaginária.
    |0rang<=
  • Operador $ Z $: Adiciona uma fase de -1 ao estado $ |1\rangle $, mantendo $ |0\rangle $ inalterado.
    |1rang<=

Passo 3

Observamos que os operadores de Pauli têm uma propriedade interessante quando elevados a potências:
X^2 = Y^2 = Z^2 = I
onde $ I $ é a matriz identidade. Isso significa que qualquer potência de um operador de Pauli pode ser simplificada usando a periodicidade 2. Vamos simplificar os expoentes:
I
Z^217 = Z^217 mod 2 = Z^1 = Z
X^101 = X^101 mod 2 = X^1 = X
Portanto, a expressão original simplifica para:
Y^50 = Y^50 mod 2 = Y^0 = I

Passo 4

Vamos aplicar os operadores um por um. Primeiro, aplicamos o operador $ X $:
X
Agora, aplicamos o operador $ Z $ no resultado:
X (alpha|0rang<= + beta|1rang<=) = alpha X|0rang<= + beta X|1rang<= = alpha|1rang<= + beta|0rang<=

Resposta

O estado resultante é $ \beta|0\rangle - \alpha|1\rangle $.

Exercícios relacionados