Mostre que o produto tensorial de dois operadores positivos é positivo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que o produto tensorial de dois operadores positivos é positivo. Isso está relacionado à álgebra linear e teoria dos operadores. Para resolver, vamos precisar entender o que são operadores positivos e como funciona o produto tensorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um operador positivo. Um operador $ A $ em um espaço de Hilbert é chamado positivo se, para todo vetor $ x $, a expressão $ \langle A x, x \rangle $ é maior ou igual a zero. Em outras palavras:
Isso garante que o operador tem valores próprios não negativos.
Passo 3
Agora, vamos entender o que é o produto tensorial de dois operadores. Se temos dois operadores $ A $ e $ B $, o produto tensorial $ A \otimes B $ atua no produto tensorial dos espaços onde $ A $ e $ B $ atuam. Basicamente, combina as ações de $ A $ e $ B $ de forma que:
para todo $ x $ e $ y $.
Passo 4
Nosso objetivo é mostrar que se $ A $ e $ B $ são positivos, então $ A \otimes B $ também é positivo. Para isso, precisamos verificar que para todo vetor $ z $ no espaço tensorial, a expressão $ \langle (A \otimes B) z, z \rangle $ é não negativa.
Passo 5
Vamos considerar um vetor geral $ z $ no espaço tensorial. Ele pode ser escrito como uma soma de produtos tensoriais:
onde $ x_i $ e $ y_i $ são vetores nos respectivos espaços.
Passo 6
Agora, vamos calcular $ \langle (A \otimes B) z, z \rangle $:
Isso se expande para:
Passo 7
Como $ A $ e $ B $ são positivos, sabemos que $ \langle A x_i, x_j \rangle $ e $ \langle B y_i, y_j \rangle $ são não negativos para quaisquer $ x_i, x_j, y_i, y_j $. Portanto, cada termo da soma é não negativo.
Passo 8
Como a soma de números não negativos é também não negativa, concluímos que:
para todo $ z $, o que significa que $ A \otimes B $ é um operador positivo.
Resposta
O produto tensorial de dois operadores positivos $ A $ e $ B $ é, de fato, um operador positivo.