Mostre que o produto tensorial de dois operadores positivos é positivo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que o produto tensorial de dois operadores positivos é positivo. Isso está relacionado à álgebra linear e teoria dos operadores. Para resolver, vamos precisar entender o que são operadores positivos e como funciona o produto tensorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um operador positivo. Um operador $ A $ em um espaço de Hilbert é chamado positivo se, para todo vetor $ x $, a expressão $ \langle A x, x \rangle $ é maior ou igual a zero. Em outras palavras:
A
Isso garante que o operador tem valores próprios não negativos.

Passo 3

Agora, vamos entender o que é o produto tensorial de dois operadores. Se temos dois operadores $ A $ e $ B $, o produto tensorial $ A \otimes B $ atua no produto tensorial dos espaços onde $ A $ e $ B $ atuam. Basicamente, combina as ações de $ A $ e $ B $ de forma que:
A
para todo $ x $ e $ y $.

Passo 4

Nosso objetivo é mostrar que se $ A $ e $ B $ são positivos, então $ A \otimes B $ também é positivo. Para isso, precisamos verificar que para todo vetor $ z $ no espaço tensorial, a expressão $ \langle (A \otimes B) z, z \rangle $ é não negativa.

Passo 5

Vamos considerar um vetor geral $ z $ no espaço tensorial. Ele pode ser escrito como uma soma de produtos tensoriais:
z
onde $ x_i $ e $ y_i $ são vetores nos respectivos espaços.

Passo 6

Agora, vamos calcular $ \langle (A \otimes B) z, z \rangle $:
lang<= (A otimes B) z, z rang<=
Isso se expande para:
lang<= (A otimes B) z, z rang<= = lang<= sumi A xi otimes B yi, sumj xj otimes yj rang<=

Passo 7

Como $ A $ e $ B $ são positivos, sabemos que $ \langle A x_i, x_j \rangle $ e $ \langle B y_i, y_j \rangle $ são não negativos para quaisquer $ x_i, x_j, y_i, y_j $. Portanto, cada termo da soma é não negativo.

Passo 8

Como a soma de números não negativos é também não negativa, concluímos que:
lang<= (A otimes B) z, z rang<= >= 0
para todo $ z $, o que significa que $ A \otimes B $ é um operador positivo.

Resposta

O produto tensorial de dois operadores positivos $ A $ e $ B $ é, de fato, um operador positivo.

Exercícios relacionados