Mostre que qualquer produto interno (cdot, cdot) é conjugado-linear no primeiro argumento,
(sumi lambdai|wirang<=,|vrang<=)=sumi lambdai^*(|wirang<=,|vrang<=)

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para mostrar que qualquer produto interno (cdot, cdot) é conjugado-linear no primeiro argumento. Basicamente, isso significa que quando a gente tem uma soma de vetores multiplicados por escalares no primeiro lugar do produto interno, o resultado é a soma dos produtos internos de cada vetor com o segundo, mas com os escalares conjugados. Para resolver isso, vamos usar as propriedades dos produtos internos, especialmente a linearidade e a conjugate linearidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um produto interno ser conjugado-linear no primeiro argumento. Isso quer dizer que para quaisquer escalares lambdai e vetores |wirang<= e |vrang<=, temos:
(sumi lambdai |wirang<=, |vrang<=) = sumi lambdai^* (|wirang<=, |vrang<=)
Aqui, lambdai^* é o conjugado de lambdai. Essa propriedade é fundamental nos espaços de Hilbert, especialmente em mecânica quântica.

Passo 3

Vamos começar analisando o lado esquerdo da equação que queremos provar:
(sumi lambdai |wirang<=, |vrang<=)
Pela linearidade no primeiro argumento do produto interno, podemos distribuir essa soma. A linearidade significa que o produto interno de uma soma de vetores com outro vetor é igual à soma dos produtos internos de cada vetor individualmente com o segundo vetor.

Passo 4

Aplicando a linearidade, temos:
Até aqui, usamos a propriedade de que podemos “tirar” os escalares (sumi lambdai |wirang<=, |vrang<=) = sumi lambdai (|wirang<=, |vrang<=) para fora do produto interno quando são multiplicados pelo primeiro argumento.

Passo 5

Agora, para chegarmos na forma que queremos, precisamos introduzir o conjugado dos escalares. Sabemos que no produto interno, quando o coeficiente está no primeiro argumento, ele deve ser conjugado. Ou seja, a linearidade no primeiro argumento na verdade é conjugate linearidade.
Portanto, ajustando o passo anterior, temos:
Isso acontece porque, para manter as propriedades do produto interno, especialmente a propriedade de que sumi lambdai (|wirang<=, |vrang<=) = sumi lambdai^* (|wirang<=, |vrang<=) , precisamos usar o conjugado do escalar quando ele está no primeiro argumento.

Resposta

Concluímos que:
Ou seja, qualquer produto interno é conjugado-linear no primeiro argumento.

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