Mostre que qualquer produto interno
é conjugado-linear no primeiro argumento,
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para mostrar que qualquer produto interno
é conjugado-linear no primeiro argumento. Basicamente, isso significa que quando a gente tem uma soma de vetores multiplicados por escalares no primeiro lugar do produto interno, o resultado é a soma dos produtos internos de cada vetor com o segundo, mas com os escalares conjugados. Para resolver isso, vamos usar as propriedades dos produtos internos, especialmente a linearidade e a conjugate linearidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um produto interno ser conjugado-linear no primeiro argumento. Isso quer dizer que para quaisquer escalares
e vetores
e
, temos:
Aqui,
é o conjugado de
. Essa propriedade é fundamental nos espaços de Hilbert, especialmente em mecânica quântica.
Passo 3
Vamos começar analisando o lado esquerdo da equação que queremos provar:
Pela linearidade no primeiro argumento do produto interno, podemos distribuir essa soma. A linearidade significa que o produto interno de uma soma de vetores com outro vetor é igual à soma dos produtos internos de cada vetor individualmente com o segundo vetor.
Passo 4
Aplicando a linearidade, temos:
Até aqui, usamos a propriedade de que podemos “tirar” os escalares
para fora do produto interno quando são multiplicados pelo primeiro argumento.
Passo 5
Agora, para chegarmos na forma que queremos, precisamos introduzir o conjugado dos escalares. Sabemos que no produto interno, quando o coeficiente está no primeiro argumento, ele deve ser conjugado. Ou seja, a linearidade no primeiro argumento na verdade é conjugate linearidade.
Portanto, ajustando o passo anterior, temos:
Isso acontece porque, para manter as propriedades do produto interno, especialmente a propriedade de que
, precisamos usar o conjugado do escalar quando ele está no primeiro argumento.
Resposta
Concluímos que:
Ou seja, qualquer produto interno é conjugado-linear no primeiro argumento.