Um operador
é dito unitário se
. Mostre que operadores unitários preservam produtos internos entre vetores. Seja
e
quaisquer vetores e
um operador unitário. Prove que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que operadores unitários mantêm os produtos internos entre vetores. Ou seja, se a gente tem um operador unitário $ U $ e dois vetores $ |v\rangle $ e $ |w\rangle $, a relação $ (U|v\rangle, U|w\rangle) = \langle v | w \rangle $ deve valer. Pra isso, vamos precisar entender o que é um operador unitário e como ele interage com os produtos internos. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um operador unitário. Um operador $ U $ é chamado unitário se satisfaz a condição $ U^{\dagger} U = I $, onde $ U^{\dagger} $ é o adjunto de $ U $ (basicamente, a matriz transposta conjugada) e $ I $ é a identidade. Isso significa que aplicar $ U $ e depois $ U^{\dagger} $ traz de volta o vetor original, não mudando sua “norma” ou tamanho.
Passo 3
Agora, precisamos lembrar o que é um produto interno. O produto interno $ \langle v | w \rangle $ entre dois vetores $ |v\rangle $ e $ |w\rangle $ é uma forma de medir a similaridade entre eles. Se a gente aplicar um operador unitário a esses vetores, queremos mostrar que essa similaridade não muda.
Passo 4
Vamos começar calculando o produto interno $ (U|v\rangle, U|w\rangle) $. Pelo significado do produto interno, isso é igual a $ \langle Uv | Uw \rangle $. Usando a propriedade dos operadores adjuntos, sabemos que $ \langle Uv | Uw \rangle = \langle v | U^{\dagger} Uw \rangle $.
Passo 5
Agora, lembrando que $ U $ é unitário, temos que $ U^{\dagger} U = I $, onde $ I $ é a identidade. Substituindo isso na expressão anterior, fica $ \langle v | I w \rangle $.
Passo 6
Como $ I $ é a identidade, $ I w = w $. Portanto, a expressão se simplifica para $ \langle v | w \rangle $.
Resposta
Portanto, mostramos que $ (U|v\rangle, U|w\rangle) = \langle v | w \rangle $, ou seja, operadores unitários preservam os produtos internos entre vetores.