Calcule nos exercícios a seguir as derivadas parciais em relação a x e a y.
a) w = u^3 + u^2 * v - 3 * v ; u = sen(x) * y ; v = y * ln(x)

Passo 1

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e a . O exercício envolve funções compostas, então vamos utilizar o Regra da Cadeia para derivar. Precisaremos conhecer as derivadas das funções trigonométricas e logarítmicas, além de aplicar as regras básicas de diferenciação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções envolvidas:
Queremos encontrar e .

Passo 3

Vamos calcular usando a Regra da Cadeia. Derivamos em relação a e , e depois multiplicamos pelas derivadas de e em relação a .

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais necessárias:
  1. (usando a derivada da função seno)
  2. (derivada do logaritmo)

Passo 5

Substituímos essas derivadas na expressão de :

Passo 6

Agora, calculamos da mesma forma:

Passo 7

Calculamos as derivadas parciais necessárias:
  1. (derivada de em relação a )

Passo 8

Substituímos essas derivadas na expressão de :

Resposta

As derivadas parciais são:
Onde e .

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