Calcule a integral dupla utilizando mudança de variáveis.
(d) integral duplaD raiza^2-x^2-y^2 d A, onde D=(x, y) mid x >= 0, y >= 0, x^2+y^2=a^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que envolve a função sobre a região definida por , e . Aqui, vamos usar o conteúdo de cálculo em coordenadas polares e a técnica de mudança de variáveis para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . Como e , estamos falando do primeiro quadrante do plano cartesiano. A condição descreve um círculo de raio . Então, é um setor circular no primeiro quadrante com raio .

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas polares porque a simetria da região e da função facilita a integração. Lembrando que:
x = r costheta, y = r sintheta, dA = r , dr , dtheta
onde é a distância do ponto à origem e é o ângulo com o eixo .

Passo 4

Com a mudança de coordenadas, a integral dupla fica:
integral duplaD raiza^2 - r^2 cdot r , dr , dtheta
Os limites de integração para vão de a (raio do círculo) e para , de a (primeiro quadrante).

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a integral0^a r raiza^2 - r^2 , dr :
-12 integrala^2^0 raizu , du = 12 integral0^a^2 u^1/2 , du = 12 cdot 23 u^3/2 g|0^a^2 = 13 a^3
Fazendo a substituição integral0^pi2 13 a^3 , dtheta = 13 a^3 cdot pi2 = pi a^36 , temos , ou seja, . A integral fica:
Agora, integramos em relação a :

Resposta

A integral dupla vale .

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