Calcule a integral dupla utilizando mudança de variáveis.
(d) , onde .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que envolve a função sobre a região definida por , e . Aqui, vamos usar o conteúdo de cálculo em coordenadas polares e a técnica de mudança de variáveis para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região . Como e , estamos falando do primeiro quadrante do plano cartesiano. A condição descreve um círculo de raio . Então, é um setor circular no primeiro quadrante com raio .
Passo 3
Agora, vamos mudar para coordenadas polares porque a simetria da região e da função facilita a integração. Lembrando que:
onde é a distância do ponto à origem e é o ângulo com o eixo .
Passo 4
Com a mudança de coordenadas, a integral dupla fica:
Os limites de integração para vão de a (raio do círculo) e para , de a (primeiro quadrante).
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :
Fazendo a substituição , temos , ou seja, . A integral fica: