Determine d w / d t :
a) w = x^3 - y^3 ; x = 1 / (1 + t) ; y = 1 / (t + 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . O enunciado nos dá que:
com
Aqui, estamos lidando com derivadas compostas, então vamos precisar usar a regra da cadeia para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que é uma função de e , que por sua vez são funções de . Para encontrar , usamos a regra da cadeia para funções de várias variáveis:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas de e em relação a :
Dado que:
Então, usando a regra do poder:
De forma similar para :

Passo 5

Agora, substituímos todas essas derivadas na fórmula da regra da cadeia:
Simplificando:

Passo 6

Mas olha só, percebemos que , já que ambas são iguais a . Então , e assim:

Resposta

A derivada é igual a .

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