Prove que se f: R R for contínua, então
(a) integral0^x f(u)(x-u) d u=integral0^x integral0^u f(t) d t d u.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que, se a função é contínua, então as duas integrais e são iguais. Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especialmente a troca de ordem de integração em integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a integral da esquerda: . Aqui, estamos integrando a função multiplicada por de 0 até .

Passo 3

Agora, vamos olhar para a integral da direita: . Essa é uma integral dupla onde, para cada de 0 a , integramos de 0 até .

Passo 4

Para provar que essas duas integrais são iguais, vamos usar a técnica de troca de ordem de integração em integrais duplas. Isso é possível porque a função é contínua e, portanto, as integrais são bem comportadas.

Passo 5

Vamos reescrever a integral da direita: . Se mudarmos a ordem de integração, os limites também mudam. No domínio de integração, vai de 0 a , e vai de 0 a . Se trocarmos, vai de 0 a e, para cada , vai de a .

Passo 6

Após trocar a ordem, a integral fica: . Agora, a parte interna é uma integração em relação a , mas não depende de , então podemos simplificar.

Passo 7

Integrando com respeito a de a , temos: . Então a integral se torna: .

Passo 8

Observe que essa é exatamente a mesma expressão da integral da esquerda: . Apenas mudamos a letra da variável de para , mas isso não altera o valor da integral.

Resposta

Portanto, provamos que .

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