Prove que se
for contínua, então
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que, se a função
é contínua, então as duas integrais
e
são iguais. Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especialmente a troca de ordem de integração em integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a integral da esquerda:
. Aqui, estamos integrando a função
multiplicada por
de 0 até
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a integral da direita:
. Essa é uma integral dupla onde, para cada
de 0 a
, integramos
de 0 até
.
Passo 4
Para provar que essas duas integrais são iguais, vamos usar a técnica de troca de ordem de integração em integrais duplas. Isso é possível porque a função
é contínua e, portanto, as integrais são bem comportadas.
Passo 5
Vamos reescrever a integral da direita:
. Se mudarmos a ordem de integração, os limites também mudam. No domínio de integração,
vai de 0 a
, e
vai de 0 a
. Se trocarmos,
vai de 0 a
e, para cada
,
vai de
a
.
Passo 6
Após trocar a ordem, a integral fica:
. Agora, a parte interna
é uma integração em relação a
, mas
não depende de
, então podemos simplificar.
Passo 7
Integrando
com respeito a
de
a
, temos:
. Então a integral se torna:
.
Passo 8
Observe que essa é exatamente a mesma expressão da integral da esquerda:
. Apenas mudamos a letra da variável de
para
, mas isso não altera o valor da integral.
Resposta
Portanto, provamos que
.