Considere a sequência de termo geral dado por
. Faça o que se pede:
© Mostre que
é convergente.
© Mostre que
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida por:
O objetivo é mostrar que essa sequência é convergente. Isso envolve entender conceitos de sequências e limites, e ver se existe um valor para o qual os termos da sequência se aproximam conforme
cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão de
. Observamos que o numerador é o produto dos primeiros
números ímpares e o denominador é o produto dos primeiros
números pares. Podemos reescrever esses produtos usando fatorial:
Aqui, usamos a relação que o produto dos números ímpares até
pode ser expresso em termos de fatorial.
Passo 3
Agora, queremos encontrar o limite de
conforme
tende ao infinito. Para isso, podemos usar a aproximação de Stirling, que é útil para estimar fatoriais em valores grandes de
:
Aplicando essa aproximação na expressão de
:
Simplificando os termos, percebemos que grande parte se cancela e acabamos com:
Passo 4
Agora, analisamos o comportamento de
conforme
tende ao infinito:
Isso mostra que, à medida que
aumenta, os termos da sequência se aproximam de zero.
Resposta
A sequência
é convergente e o seu limite é
.
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Calcule os limites a seguir, caso existam. Justifique a resposta.
Calcule, se existir, a área das regiões abaixo, limitas pelas curvas
, e pelos intervalos indicados:
(j) , de
(j)
Calcule os limites a seguir, caso existam. Justifique a resposta.
Calcule os limites a seguir, caso existam. Justifique a resposta.