Calcule, se existir, a área das regiões abaixo, limitas pelas curvas
, e pelos intervalos indicados:
(e)
, de
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa calcular a área da região limitada pela curva
no intervalo de
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a integração definida, que nos ajuda a encontrar áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a função que estamos trabalhando:
. Vamos analisar o domínio dessa função para garantir que ela está bem definida no intervalo dado.
Para que a função seja real, o denominador
precisa ser uma raiz real, ou seja,
. Resolvendo essa inequação:
Então, a função está definida para
, o que abrange nosso intervalo de
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a área sob a curva no intervalo
. Para isso, usamos a integral definida:
Como a função
é negativa nesse intervalo (já que
é negativo e o denominador é positivo), a integral nos dará um valor negativo. Mas como estamos interessados na área, vamos considerar o valor absoluto.
Passo 4
Vamos resolver a integral
usando substituição.
Seja
, então
ou
.
Substituindo na integral:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Calculando cada termo:
Então:
Como a área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:
Resposta
A área da região é igual a
unidades quadradas.
Exercícios relacionados
Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de limaçons; as obtidas nos itens ©, (h), (m) e ® também são chamadas de cardioides).
(o) .
(o)
Calcule as seguintes integrais:
(b)
(b)
Sejam
e
conjuntos quaisquer. Prove as seguintes afirmações:
Considere a sequência de termo geral dado por
. Faça o que se pede:
(b) Mostre que é estritamente decrescente;
(b) Mostre que