Calcule, se existir, a área das regiões abaixo, limitas pelas curvas , e pelos intervalos indicados:
(e) , de

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa calcular a área da região limitada pela curva no intervalo de . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a integração definida, que nos ajuda a encontrar áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a função que estamos trabalhando: . Vamos analisar o domínio dessa função para garantir que ela está bem definida no intervalo dado.
Para que a função seja real, o denominador precisa ser uma raiz real, ou seja, . Resolvendo essa inequação:
Então, a função está definida para , o que abrange nosso intervalo de .

Passo 3

Agora, vamos calcular a área sob a curva no intervalo . Para isso, usamos a integral definida:
Á
Como a função é negativa nesse intervalo (já que é negativo e o denominador é positivo), a integral nos dará um valor negativo. Mas como estamos interessados na área, vamos considerar o valor absoluto.

Passo 4

Vamos resolver a integral usando substituição.
Seja , então ou .
Substituindo na integral:
Sabemos que , então:

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração de a :
Á
Calculando cada termo:
Então:
Á
Como a área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:
Á

Resposta

A área da região é igual a unidades quadradas.

Exercícios relacionados

Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de limaçons; as obtidas nos itens ©, (h), (m) e ® também são chamadas de cardioides).
(o) .
Calcule as seguintes integrais:
(b)
Sejam e conjuntos quaisquer. Prove as seguintes afirmações:
Considere a sequência de termo geral dado por . Faça o que se pede:
(b) Mostre que é estritamente decrescente;