Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de limaçons; as obtidas nos itens ©, (h), (m) e ® também são chamadas de cardioides).
(o)
.
(o)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o GeoGebra para fazer o gráfico da curva dada pela equação polar
. Essa curva é um tipo de limaçon, que é uma figura bem legal em geometria analítica. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma equação polar, conhecer um pouco sobre limaçons e saber usar o GeoGebra para plotar gráficos polares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma equação polar. Diferente das coordenadas cartesianas (x e y), nas coordenadas polares usamos
e
, onde
é a distância do ponto à origem e
é o ângulo em relação ao eixo positivo x. A equação
nos diz como
varia conforme o ângulo
muda.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre os limaçons. Um limaçon é uma curva polar que pode ter diferentes formatos dependendo dos coeficientes da equação. A equação geral de um limaçon é
ou
. No nosso caso, temos
e
. Como
, a curva será um limaçon sem laço, mas como os valores são específicos, podemos ter uma cardioide, que é um tipo especial de limaçon.
Passo 4
Vamos agora usar o GeoGebra para plotar essa curva. Abra o GeoGebra e selecione a vista de gráfico polar. No campo de entrada, digite a equação polar
. O GeoGebra vai automaticamente desenhar a curva para nós. Observe como a curva se comporta à medida que o ângulo
varia de 0 a
.
Passo 5
Ao analisar o gráfico, você vai perceber que a curva é simétrica em relação ao eixo y devido ao termo
na equação. Além disso, como
, a curva não forma um laço, mas tem uma espécie de “dente” característico dos limaçons. Essa forma específica também pode ser chamada de cardioide quando a relação entre
e
atinge certas condições.
Resposta
O gráfico da equação polar
é um limaçon sem laço, também conhecido como cardioide, desenhado no GeoGebra mostrando uma curva simétrica em relação ao eixo y com um “dente” característico.
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Calcule as seguintes integrais:
(b)
(b)
Determine os limites se existirem:
(l)
(l)
Calcule, se existir, a área das regiões abaixo, limitas pelas curvas
, e pelos intervalos indicados:
(e) , de
(e)
Sejam
e
conjuntos quaisquer. Prove as seguintes afirmações: