Calcule as seguintes integrais:
(b) integral0^+infty x e^-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na área de Cálculo, mais especificamente em Integração. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas transformando as variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para tornar a integral mais simples. Vamos deixar . A ideia aqui é substituir por para facilitar a integração.

Passo 3

Agora, vamos derivar du = ddx(-x^2) , dx = -2x , dx em relação a para encontrar :

Passo 4

Queremos expressar x , dx = -du2 em termos de . Vamos rearranjar a equação acima:

Passo 5

Substituímos integral0^+infty x e^-x^2 , dx = integralu(0)^u(+infty) e^u (-du2) e na integral original:

Passo 6

Agora, precisamos ajustar os limites de integração conforme nossa substituição :
  • Quando ,
  • Quando tende a ,
Então, os novos limites são de a .

Passo 7

Vamos reorganizar a integral:
-12 integral0^-infty e^u , du = 12 integral-infty^0 e^u , du
Invertemos os limites e mudamos o sinal.

Passo 8

Agora, integramos 12 [ e^u ]-infty^0 = 12 ( e^0 - limu to -infty e^u ) em relação a :

Passo 9

Calculamos os valores:
e^0 = 1 e limu to -infty e^u = 0
Então:
12 (1 - 0) = 12

Resposta

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