Calcule as seguintes integrais:
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na área de Cálculo, mais especificamente em Integração. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas transformando as variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para tornar a integral mais simples. Vamos deixar . A ideia aqui é substituir por para facilitar a integração.

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a para encontrar :

Passo 4

Queremos expressar em termos de . Vamos rearranjar a equação acima:

Passo 5

Substituímos e na integral original:

Passo 6

Agora, precisamos ajustar os limites de integração conforme nossa substituição :
  • Quando ,
  • Quando tende a ,
Então, os novos limites são de a .

Passo 7

Vamos reorganizar a integral:
Invertemos os limites e mudamos o sinal.

Passo 8

Agora, integramos em relação a :

Passo 9

Calculamos os valores:
Então:

Resposta

Exercícios relacionados

Determine os limites se existirem:
(l)
Sejam e dois conjuntos do . Prove que se e forem abertos, então e também o serão.
Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de limaçons; as obtidas nos itens ©, (h), (m) e ® também são chamadas de cardioides).
(o) .
Calcule, se existir, a área das regiões abaixo, limitas pelas curvas , e pelos intervalos indicados:
(e) , de