Calcule as seguintes integrais:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício está na área de Cálculo, mais especificamente em Integração. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas transformando as variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para tornar a integral mais simples. Vamos deixar
. A ideia aqui é substituir
por
para facilitar a integração.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
:
Passo 4
Queremos expressar
em termos de
. Vamos rearranjar a equação acima:
Passo 5
Substituímos
e
na integral original:
Passo 6
Agora, precisamos ajustar os limites de integração conforme nossa substituição
:
- Quando
, - Quando
tende a ,
Então, os novos limites são de
a
.
Passo 7
Vamos reorganizar a integral:
Invertemos os limites e mudamos o sinal.
Passo 8
Agora, integramos
em relação a
:
Passo 9
Calculamos os valores:
Então:
Resposta
Exercícios relacionados
Determine os limites se existirem:
(l)
(l)
Sejam
e
dois conjuntos do
. Prove que se
e
forem abertos, então
e
também o serão.
Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de limaçons; as obtidas nos itens ©, (h), (m) e ® também são chamadas de cardioides).
(o) .
(o)
Calcule, se existir, a área das regiões abaixo, limitas pelas curvas
, e pelos intervalos indicados:
(e) , de
(e)