Sejam
e
conjuntos quaisquer. Prove as seguintes afirmações:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente provar que, se temos um conjunto
, então a união de
com ele mesmo é igual a
de novo. Isso tudo faz parte da matéria de Teoria dos Conjuntos, especificamente sobre as operações com conjuntos. Para resolver isso, vamos precisar entender bem o que significa a união de dois conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a união de dois conjuntos. A união de
com
, escrita como
, é o conjunto que contém todos os elementos que estão em
, em
, ou em ambos. Ou seja:
Passo 3
No nosso caso, estamos falando da união de
com ele mesmo, ou seja,
. Usando a definição que vimos:
Mas, se você prestar atenção, se estamos dizendo "x está em
ou em
", isso na verdade significa simplesmente "x está em
".
Passo 4
Então, a união de
com
não está adicionando nenhum elemento novo ao conjunto
, já que estamos apenas repetindo os mesmos elementos. Portanto:
Resposta
A união de
com ele mesmo é igual a
. Ou seja,
.