Sejam e conjuntos quaisquer. Prove as seguintes afirmações:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente provar que, se temos um conjunto , então a união de com ele mesmo é igual a de novo. Isso tudo faz parte da matéria de Teoria dos Conjuntos, especificamente sobre as operações com conjuntos. Para resolver isso, vamos precisar entender bem o que significa a união de dois conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a união de dois conjuntos. A união de com , escrita como , é o conjunto que contém todos os elementos que estão em , em , ou em ambos. Ou seja:

Passo 3

No nosso caso, estamos falando da união de com ele mesmo, ou seja, . Usando a definição que vimos:
Mas, se você prestar atenção, se estamos dizendo "x está em ou em ", isso na verdade significa simplesmente "x está em ".

Passo 4

Então, a união de com não está adicionando nenhum elemento novo ao conjunto , já que estamos apenas repetindo os mesmos elementos. Portanto:

Resposta

A união de com ele mesmo é igual a . Ou seja, .

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Calcule, se existir, a área das regiões abaixo, limitas pelas curvas , e pelos intervalos indicados:
(e) , de
Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de limaçons; as obtidas nos itens ©, (h), (m) e ® também são chamadas de cardioides).
(o) .
Considere a sequência de termo geral dado por . Faça o que se pede:
(b) Mostre que é estritamente decrescente;
Considere a série para resolver os itens abaixo.
(a) Encontre os três primeiros termos da sequência das somas parciais.