Considere a sequência de termo geral dado por
. Faça o que se pede:
(b) Mostre que
é estritamente decrescente;
(b) Mostre que
Passo 1
Vamos lá! Temos uma sequência cujo termo geral é dado por
. O que a gente precisa fazer é mostrar que essa sequência é estritamente decrescente, ou seja, cada termo é menor que o anterior. Para isso, vamos usar conceitos de sequências e propriedades de frações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor como é cada termo da sequência. Observa que tanto o numerador quanto o denominador são produtos de números ímpares e pares, respectivamente. Para facilitar a comparação entre termos consecutivos, vamos relacionar
com
.
Passo 3
Calculando
, temos:
Simplificando
dá
, então:
Passo 4
Agora, podemos expressar
em termos de
:
Isso simplifica a comparação entre
e
.
Passo 5
Para mostrar que a sequ��ncia é estritamente decrescente, precisamos provar que
. A partir da expressão acima:
Queremos que:
Passo 6
Vamos analisar a fração
:
Comparando numerador e denominador, vemos que
, pois adicionamos 1 no denominador.
Passo 7
Como
, multiplicando ambos os lados por
(que é positivo), mantemos a desigualdade:
Portanto,
, o que mostra que a sequência é estritamente decrescente.
Resposta
A sequência
é estritamente decrescente porque cada termo
é menor que
para todo
.
Exercícios relacionados
Sejam
e
conjuntos quaisquer. Prove as seguintes afirmações:
Calcule, se existir, a área das regiões abaixo, limitas pelas curvas
, e pelos intervalos indicados:
(e) , de
(e)
Considere a série
para resolver os itens abaixo.
(a) Encontre os três primeiros termos da sequência das somas parciais.
(a) Encontre os três primeiros termos da sequência das somas parciais.
Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados via anuladores.
f)
f)