Considere a sequência de termo geral dado por a_n = (1 * 3 * 5 * ... * (2n - 1)) / (2 * 4 * 6 * ... * (2n)). Faça o que se pede:
(b) Mostre que a_n é estritamente decrescente;

Passo 1

Vamos lá! Temos uma sequência cujo termo geral é dado por . O que a gente precisa fazer é mostrar que essa sequência é estritamente decrescente, ou seja, cada termo é menor que o anterior. Para isso, vamos usar conceitos de sequências e propriedades de frações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor como é cada termo da sequência. Observa que tanto o numerador quanto o denominador são produtos de números ímpares e pares, respectivamente. Para facilitar a comparação entre termos consecutivos, vamos relacionar com .

Passo 3

Calculando , temos:
Simplificando , então:

Passo 4

Agora, podemos expressar em termos de :
Isso simplifica a comparação entre e .

Passo 5

Para mostrar que a sequ��ncia é estritamente decrescente, precisamos provar que . A partir da expressão acima:
Queremos que:

Passo 6

Vamos analisar a fração :
Comparando numerador e denominador, vemos que , pois adicionamos 1 no denominador.

Passo 7

Como , multiplicando ambos os lados por (que é positivo), mantemos a desigualdade:
Portanto, , o que mostra que a sequência é estritamente decrescente.

Resposta

A sequência é estritamente decrescente porque cada termo é menor que para todo .

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