Considere a sequência de termo geral dado por . Faça o que se pede:
(b) Mostre que é estritamente decrescente;

Passo 1

Vamos lá! Temos uma sequência cujo termo geral é dado por . O que a gente precisa fazer é mostrar que essa sequência é estritamente decrescente, ou seja, cada termo é menor que o anterior. Para isso, vamos usar conceitos de sequências e propriedades de frações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor como é cada termo da sequência. Observa que tanto o numerador quanto o denominador são produtos de números ímpares e pares, respectivamente. Para facilitar a comparação entre termos consecutivos, vamos relacionar com .

Passo 3

Calculando , temos:
Simplificando , então:

Passo 4

Agora, podemos expressar em termos de :
Isso simplifica a comparação entre e .

Passo 5

Para mostrar que a sequ��ncia é estritamente decrescente, precisamos provar que . A partir da expressão acima:
Queremos que:

Passo 6

Vamos analisar a fração :
Comparando numerador e denominador, vemos que , pois adicionamos 1 no denominador.

Passo 7

Como , multiplicando ambos os lados por (que é positivo), mantemos a desigualdade:
Portanto, , o que mostra que a sequência é estritamente decrescente.

Resposta

A sequência é estritamente decrescente porque cada termo é menor que para todo .

Exercícios relacionados

Sejam e conjuntos quaisquer. Prove as seguintes afirmações:
Calcule, se existir, a área das regiões abaixo, limitas pelas curvas , e pelos intervalos indicados:
(e) , de
Considere a série para resolver os itens abaixo.
(a) Encontre os três primeiros termos da sequência das somas parciais.
Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados via anuladores.
f)