Calcule, se existir:
d) lim x 2^+ g(x)-g(2)x-2 para g(x)=lx, se x >= 2 x^22, se x<2

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Queremos calcular o limite:
limx 2^+ g(x) - g(2)x - 2
onde a função g(x) = x, & se x >= 2 x^22, & se x < 2 está definida por partes:
Esse tipo de limite está relacionado ao conceito de derivada, especificamente a derivada pela direita no ponto . Vamos usar a definição de derivada para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor de g(2) = 2 (porque para x >= 2, g(x) = x) . Observando a definição de :

Passo 3

Como estamos calculando o limite quando g(x) = x (para x >= 2) se aproxima de 2 pela direita ( ), vamos considerar valores de ligeiramente maiores que 2. Nessa região, a definição de que se aplica é:

Passo 4

Agora, substituímos limx 2^+ g(x) - g(2)x - 2 = limx 2^+ x - 2x - 2 e na expressão do limite:

Passo 5

Simplificamos a fração:
x - 2x - 2 = 1 (válido para x neq 2) á

Passo 6

Como a expressão simplificada é 1, o limite se torna:
limx 2^+ 1 = 1

Resposta

O limite é igual a .

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