Calcule, se existir, o limite de
, quando
, se
.
Resp.: Só existe o limite para
e para
.
Resp.: Só existe o limite para
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função
e queremos descobrir o limite dessa função quando
se aproxima de
. Os expoentes
e
podem ser 0, 1, 2 ou 3. Para resolver isso, vamos precisar entender como os termos do numerador e do denominador se comportam perto de zero e verificar se o limite existe para cada combinação de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o denominador
. Quando
se aproxima de
, tanto
quanto
vão para zero, então o denominador também tende a zero. Isso significa que precisamos ter cuidado com o numerador para ver se ele também tende a zero ou não.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o numerador
. O comportamento desse termo depende dos valores de
e
:
- Se
e forem maiores que 2, os termos e tendem a zero mais rapidamente que e . - Se
ou forem menores que 2, os termos podem não tender a zero o suficiente, o que pode fazer com que o limite não exista ou seja infinito.
Passo 4
Vamos testar as possíveis combinações de
e
dentro do conjunto {0,1,2,3}:
-
Quando
: Portanto, o limite é 1. -
Quando
: Aqui, tantoquanto tendem a zero mais rapidamente que e , então o limite é 0. -
Outras combinações de
e : - Se
ou , o numerador não tende a zero o suficiente, o que faz com que o limite não exista ou seja infinito. - Se
, os termos não cancelam de forma equilibrada, o que também pode fazer o limite não existir.
- Se
Resposta
Só existe o limite para
(limite igual a 1) e para
(limite igual a 0).