Calcule, se existir, o limite de , quando , se .
Resp.: Só existe o limite para e para .
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função e queremos descobrir o limite dessa função quando se aproxima de . Os expoentes e podem ser 0, 1, 2 ou 3. Para resolver isso, vamos precisar entender como os termos do numerador e do denominador se comportam perto de zero e verificar se o limite existe para cada combinação de e .
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o denominador . Quando se aproxima de , tanto quanto vão para zero, então o denominador também tende a zero. Isso significa que precisamos ter cuidado com o numerador para ver se ele também tende a zero ou não.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o numerador . O comportamento desse termo depende dos valores de e :
Se e forem maiores que 2, os termos e tendem a zero mais rapidamente que e .
Se ou forem menores que 2, os termos podem não tender a zero o suficiente, o que pode fazer com que o limite não exista ou seja infinito.
Passo 4
Vamos testar as possíveis combinações de e dentro do conjunto {0,1,2,3}:
Quando :
Portanto, o limite é 1.
Quando :
Aqui, tanto quanto tendem a zero mais rapidamente que e , então o limite é 0.
Outras combinações de e :
Se ou , o numerador não tende a zero o suficiente, o que faz com que o limite não exista ou seja infinito.
Se , os termos não cancelam de forma equilibrada, o que também pode fazer o limite não existir.
Resposta
Só existe o limite para (limite igual a 1) e para (limite igual a 0).