Calcule, se existir, o limite de V(x, y)=(x^m+y^n) /(x^2+y^2), quando (x, y) (0,0), se m, n subset0,1,2,3.
Resp.: Só existe o limite para m=n=2(lim =1) e para m=n=3(lim =0).

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função e queremos descobrir o limite dessa função quando se aproxima de . Os expoentes e podem ser 0, 1, 2 ou 3. Para resolver isso, vamos precisar entender como os termos do numerador e do denominador se comportam perto de zero e verificar se o limite existe para cada combinação de e .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador . Quando se aproxima de , tanto quanto vão para zero, então o denominador também tende a zero. Isso significa que precisamos ter cuidado com o numerador para ver se ele também tende a zero ou não.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o numerador . O comportamento desse termo depende dos valores de e :
  • Se e forem maiores que 2, os termos e tendem a zero mais rapidamente que e .
  • Se ou forem menores que 2, os termos podem não tender a zero o suficiente, o que pode fazer com que o limite não exista ou seja infinito.

Passo 4

Vamos testar as possíveis combinações de V(x, y) = x^2 + y^2x^2 + y^2 = 1 e V(x, y) = x^3 + y^3x^2 + y^2 dentro do conjunto {0,1,2,3}:
  1. Quando :
    Portanto, o limite é 1.
  2. Quando :
    Aqui, tanto quanto tendem a zero mais rapidamente que e , então o limite é 0.
  3. Outras combinações de e :
    • Se ou , o numerador não tende a zero o suficiente, o que faz com que o limite não exista ou seja infinito.
    • Se , os termos não cancelam de forma equilibrada, o que também pode fazer o limite não existir.

Resposta

Só existe o limite para (limite igual a 1) e para (limite igual a 0).

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