Verifique a continuidade de
Resp.: É contínua
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de duas variáveis,
, que é definida de duas formas: uma para todos os pontos que não são a origem
e outra especificamente na origem. O conteúdo que vamos usar aqui é o de continuidade de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como verificar se o limite da função quando
se aproxima de
é igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Para que
seja contínua em
, o limite de
quando
se aproxima de
deve ser igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
No nosso caso,
.
Passo 3
Agora, precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
para ver se esse limite é igual a 3. Vamos olhar a função definida para
:
Vamos simplificar essa expressão para facilitar o cálculo do limite.
Passo 4
Vamos dividir o numerador termo a termo pelo denominador:
Isso nos ajuda a ver como cada parte contribui para o limite total.
Passo 5
Agora, vamos analisar o limite de cada termo separadamente quando
.
Para o primeiro termo:
Porque
tende a 0 quando
.
Para o segundo termo:
O mesmo raciocínio se aplica aqui:
também tende a 0.
Passo 6
Somando os limites dos dois termos:
Portanto,
Mas lembramos que
.
Resposta
Como o limite de
quando
se aproxima de
é 0, que é diferente do valor da função nesse ponto (que é 3), a função não é contínua em
.
Exercícios relacionados
Calcule, se existir, o limite de
, quando
.
Resp.: 0
Resp.: 0
Calcule, se existir, o limite de
, quando
, se
.
Resp.: Só existe o limite para e para
.
Resp.: Só existe o limite para
Calcule, se existir, o limite de
, quando
Resp.:
Integrais triplas (Esboçar o sólido)
Calcular onde
é sólido delimitado pelo cilindro
e pelo plano
.
Calcular