Verifique a continuidade de
Resp.: É contínua

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de duas variáveis, , que é definida de duas formas: uma para todos os pontos que não são a origem e outra especificamente na origem. O conteúdo que vamos usar aqui é o de continuidade de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como verificar se o limite da função quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Para que seja contínua em , o limite de quando se aproxima de deve ser igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
No nosso caso, .

Passo 3

Agora, precisamos calcular o limite de quando se aproxima de para ver se esse limite é igual a 3. Vamos olhar a função definida para :
Vamos simplificar essa expressão para facilitar o cálculo do limite.

Passo 4

Vamos dividir o numerador termo a termo pelo denominador:
Isso nos ajuda a ver como cada parte contribui para o limite total.

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite de cada termo separadamente quando .
Para o primeiro termo:
Porque tende a 0 quando .
Para o segundo termo:
O mesmo raciocínio se aplica aqui: também tende a 0.

Passo 6

Somando os limites dos dois termos:
Portanto,
Mas lembramos que .

Resposta

Como o limite de quando se aproxima de é 0, que é diferente do valor da função nesse ponto (que é 3), a função não é contínua em .

Exercícios relacionados

Calcule, se existir, o limite de , quando .
Resp.: 0
Calcule, se existir, o limite de , quando , se .
Resp.: Só existe o limite para e para .
Calcule, se existir, o limite de , quando Resp.:
Integrais triplas (Esboçar o sólido)
Calcular onde é sólido delimitado pelo cilindro e pelo plano .