Verifique a continuidade de f(x, y)=
cc 3 x^2(y+1)+3 y^2x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 3 & se (x, y)=(0,0)
Resp.: É contínua

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de duas variáveis, , que é definida de duas formas: uma para todos os pontos que não são a origem e outra especificamente na origem. O conteúdo que vamos usar aqui é o de continuidade de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como verificar se o limite da função quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Para que lim(x,y) to (0,0) f(x, y) = f(0,0) seja contínua em , o limite de quando se aproxima de deve ser igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
No nosso caso, .

Passo 3

Agora, precisamos calcular o limite de f(x, y) = 3x^2(y+1) + 3y^2x^2+y^2 quando se aproxima de para ver se esse limite é igual a 3. Vamos olhar a função definida para :
Vamos simplificar essa expressão para facilitar o cálculo do limite.

Passo 4

Vamos dividir o numerador termo a termo pelo denominador:
f(x, y) = 3x^2(y+1)x^2+y^2 + 3y^2x^2+y^2 = 3(y+1)(x^2x^2+y^2) + 3(y^2x^2+y^2)
Isso nos ajuda a ver como cada parte contribui para o limite total.

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite de cada termo separadamente quando lim(x,y) to (0,0) 3(y+1)(x^2x^2+y^2) = 3(0+1)( lim(x,y) to (0,0) x^2x^2+y^2 ) = 3 times 1 times 0 = 0 .
Para o primeiro termo:
lim(x,y) to (0,0) 3(y^2x^2+y^2) = 3 times lim(x,y) to (0,0) y^2x^2+y^2 = 3 times 0 = 0
Porque tende a 0 quando .
Para o segundo termo:
O mesmo raciocínio se aplica aqui: também tende a 0.

Passo 6

Somando os limites dos dois termos:
0 + 0 = 0
Portanto,
lim(x,y) to (0,0) f(x, y) = 0
Mas lembramos que .

Resposta

Como o limite de quando se aproxima de é 0, que é diferente do valor da função nesse ponto (que é 3), a função não é contínua em .

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