Calcule, se existir, o limite de , quando .
Resp.: 0
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite da função quando os valores de e se aproximam de 0. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites em funções de duas variáveis e analisar como a função se comporta perto do ponto (0,0).
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da função . A função é uma fração onde o numerador é e o denominador é . Queremos ver o que acontece com essa fração quando e ficam muito próximos de 0.
Passo 3
Vamos analisar o numerador e o denominador separadamente. Tanto quanto tendem a 0 quando e vão para 0. Entretanto, no numerador, temos o produto , que tende a 0 mais rapidamente do que o denominador .
Passo 4
Para ter uma ideia melhor, podemos usar desigualdades. Sabemos que (pela desigualdade de AM-GM). Assim, podemos dizer que:
Passo 5
Agora, aplicando o Teorema do Sandoque (ou Teorema do Aperto), já que tende a 0 quando e vão para 0, concluímos que: