Verifique a continuidade de
g(x, y)=lvert, cc x^2+y+2x^2+y^2+4 y+4 & se (x, y) neq(0,-2), 1 & se (x, y)=(0,-2), Resp: Não é contínua ãéí

Passo 1

Então, a gente tem que verificar se a função é contínua no ponto . Isso está relacionado com o conteúdo de continuidade de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar calcular o limite de quando se aproxima de e comparar com o valor da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que acontece com a função g(x, y) = x^2 + y + 2x^2 + y^2 + 4y + 4 quando está perto de , mas diferente dele. A função é dada por:
Queremos calcular o limite dessa expressão à medida que .

Passo 3

Vamos simplificar o denominador:
x^2 + y^2 + 4y + 4 = x^2 + (y^2 + 4y + 4) = x^2 + (y + 2)^2
Então, a função fica:
g(x, y) = x^2 + y + 2x^2 + (y + 2)^2
Agora, vamos analisar o limite quando g(x, -2) = x^2 -2 + 2x^2 + (-2 + 2)^2 = x^2x^2 = 1 se aproxima de g(0, y) = 0 + y + 20 + (y + 2)^2 = y + 2(y + 2)^2 = 1y + 2 por diferentes caminhos.
Caminho 1: Fixar e deixar .
Então, pelo caminho , o limite é 1.
Caminho 2: Fixar e deixar .
À medida que , , então tende para ou , dependendo da direção.
Como estamos obtendo valores diferentes dependendo do caminho que escolhemos para aproximar , isso significa que o limite não existe de maneira única.

Passo 4

Já que o limite de quando não existe de forma consistente, não tem como compará-lo com o valor da função em , que é 1. Portanto, a função não é contínua nesse ponto.

Resposta

Não é contínua.

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