Calcule, se existir, o limite de F(x, y)=(x-2)^2 /(x^2+y^2-4 x+4), quando (x, y) (2,0) Resp.: nexists

Passo 1

Vamos resolver o limite da função quando se aproxima de . Para isso, vamos utilizar conceitos de limites em funções de duas variáveis e verificar se o limite é o mesmo ao nos aproximarmos por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da função. Observamos que:
x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2
Assim, a função F(x, y) = (x - 2)^2(x - 2)^2 + y^2 fica:

Passo 3

Agora, queremos calcular:
lim(x, y) to (2, 0) (x - 2)^2(x - 2)^2 + y^2
Vamos verificar se esse limite depende do caminho pelo qual nos aproximamos de .

Passo 4

Vamos analisar dois caminhos diferentes:
  1. Aproximação ao longo do eixo F(x, 0) = (x - 2)^2(x - 2)^2 + 0 = 1 (onde limx to 2 F(x, 0) = 1 ):
F(2, y) = 00 + y^2 = 0
Portanto:
limy to 0 F(2, y) = 0
  1. Aproximação ao longo do eixo (onde ):
Portanto:

Passo 5

Como obtemos limites diferentes ( e ) ao nos aproximarmos de por caminhos distintos, concluímos que o limite de quando não existe.

Resposta

Não existe.

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