Integrais triplas (Esboçar o sólido)
Calcular I=integral triplaT x d x d y d z onde T é sólido delimitado pelo cilindro x^2+y^2=25 e pelo plano x+y+z=8.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de integrais triplas. A gente tem que calcular a integral I=integral triplaT x , dx , dy , dz, onde o sólido T é delimitado pelo cilindro x^2+y^2=25 e pelo plano x+y+z=8. Aqui, vamos usar conhecimentos de cálculo multivariável, especialmente integrais triplas em coordenadas cartesianas. Precisamos entender bem os limites de integração para o cilindro e o plano para configurar a integral corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o sólido T. O cilindro x^2+y^2=25 é um cilindro circular de raio 5, centrado no eixo z. O plano x+y+z=8 corta esse cilindro. Para achar os limites de integração, vamos resolver a equação do plano em relação a z:
z = 8 - x - y
Isso nos dá o limite superior para z.

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites para x e y. Já que estamos dentro do cilindro x^2+y^2=25, podemos usar coordenadas polares para simplificar. Mas seguindo em coordenadas cartesianas:
Para y, para cada x fixo, y varia de -raiz25 - x^2 a raiz25 - x^2.
Para x, ele varia de -5 a 5, já que o raio do cilindro é 5.

Passo 4

Com os limites definidos, podemos escrever a integral tripla:
I = integral-5^5 integral-raiz25 - x^2^raiz25 - x^2 integral0^8 - x - y x , dz , dy , dx
Aqui, o limite inferior para z é 0, assumindo que o cilindro está no plano z=0.

Passo 5

Vamos integrar em relação a z primeiro. A integral de x em relação a z é:
integral0^8 - x - y x , dz = x cdot z |0^8 - x - y = x(8 - x - y)

Passo 6

Substituindo de volta na integral, temos:
I = integral-5^5 integral-raiz25 - x^2^raiz25 - x^2 x(8 - x - y) , dy , dx
Vamos agora expandir a expressão dentro da integral:
x(8 - x - y) = 8x - x^2 - xy

Passo 7

Agora, integramos termo a termo em relação a y:
integral-raiz25 - x^2^raiz25 - x^2 (8x - x^2 - xy) , dy
Vamos calcular cada parte:
  1. integral 8x , dy = 8x cdot y |-raiz25 - x^2^raiz25 - x^2 = 8x cdot 2raiz25 - x^2
  2. integral -x^2 , dy = -x^2 cdot y |-raiz25 - x^2^raiz25 - x^2 = -x^2 cdot 2raiz25 - x^2
  3. integral -xy , dy = -x cdot y^22 |-raiz25 - x^2^raiz25 - x^2 = 0 (porque é uma função ímpar sobre intervalo simétrico)

Passo 8

Então, a integral se simplifica para:
I = integral-5^5 [ 16xraiz25 - x^2 - 2x^2raiz25 - x^2 ] , dx
Observamos que a função 16xraiz25 - x^2 é ímpar e integrada de -5 a 5, então seu valor será zero. Portanto, resta apenas:
I = -2 integral-5^5 x^2raiz25 - x^2 , dx

Passo 9

Como a função x^2raiz25 - x^2 é par, podemos simplificar a integral:
I = -2 cdot 2 integral0^5 x^2raiz25 - x^2 , dx = -4 integral0^5 x^2raiz25 - x^2 , dx
Vamos fazer a substituição u = 25 - x^2, então du = -2x , dx, ou seja, x , dx = -12 du.

Passo 10

Substituindo na integral:
I = -4 cdot integralu=25^u=0 (25 - u) raizu cdot ( -12 ) du = 2 integral0^25 25 - uraizu , du
Separando a integral:
2 ( 25 integral0^25 u^-1/2 , du - integral0^25 u^1/2 , du )

Passo 11

Calculando as integrais:
  1. integral u^-1/2 , du = 2u^1/2
  2. integral u^1/2 , du = 23 u^3/2
Substituindo de volta:
2 ( 25 cdot 2u^1/2 |0^25 - 23 u^3/2 |0^25 ) = 2 ( 50 cdot 5 - 23 cdot 125 ) = 2 ( 250 - 2503 ) = 2 cdot 5003 = 10003

Resposta

O valor da integral é dfrac10003.

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