Integrais triplas (Esboçar o sólido)
Calcular onde é sólido delimitado pelo cilindro e pelo plano .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de integrais triplas. A gente tem que calcular a integral , onde o sólido é delimitado pelo cilindro e pelo plano . Aqui, vamos usar conhecimentos de cálculo multivariável, especialmente integrais triplas em coordenadas cartesianas. Precisamos entender bem os limites de integração para o cilindro e o plano para configurar a integral corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o sólido . O cilindro é um cilindro circular de raio 5, centrado no eixo z. O plano corta esse cilindro. Para achar os limites de integração, vamos resolver a equação do plano em relação a z:
Isso nos dá o limite superior para z.
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites para x e y. Já que estamos dentro do cilindro , podemos usar coordenadas polares para simplificar. Mas seguindo em coordenadas cartesianas:
Para y, para cada x fixo, y varia de a .
Para x, ele varia de -5 a 5, já que o raio do cilindro é 5.
Passo 4
Com os limites definidos, podemos escrever a integral tripla:
Aqui, o limite inferior para z é 0, assumindo que o cilindro está no plano z=0.
Passo 5
Vamos integrar em relação a z primeiro. A integral de x em relação a z é:
Passo 6
Substituindo de volta na integral, temos:
Vamos agora expandir a expressão dentro da integral:
Passo 7
Agora, integramos termo a termo em relação a y:
Vamos calcular cada parte:
(porque é uma função ímpar sobre intervalo simétrico)
Passo 8
Então, a integral se simplifica para:
Observamos que a função é ímpar e integrada de -5 a 5, então seu valor será zero. Portanto, resta apenas:
Passo 9
Como a função é par, podemos simplificar a integral: