Integrais triplas (Esboçar o sólido)
Calcular onde é sólido delimitado pelo cilindro e pelo plano .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de integrais triplas. A gente tem que calcular a integral , onde o sólido é delimitado pelo cilindro e pelo plano . Aqui, vamos usar conhecimentos de cálculo multivariável, especialmente integrais triplas em coordenadas cartesianas. Precisamos entender bem os limites de integração para o cilindro e o plano para configurar a integral corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o sólido . O cilindro é um cilindro circular de raio 5, centrado no eixo z. O plano corta esse cilindro. Para achar os limites de integração, vamos resolver a equação do plano em relação a z:
Isso nos dá o limite superior para z.
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites para x e y. Já que estamos dentro do cilindro , podemos usar coordenadas polares para simplificar. Mas seguindo em coordenadas cartesianas:
Para y, para cada x fixo, y varia de a .
Para x, ele varia de -5 a 5, já que o raio do cilindro é 5.
Passo 4
Com os limites definidos, podemos escrever a integral tripla:
Aqui, o limite inferior para z é 0, assumindo que o cilindro está no plano z=0.
Passo 5
Vamos integrar em relação a z primeiro. A integral de x em relação a z é:
Passo 6
Substituindo de volta na integral, temos:
I = integral-5^5 integral-raiz25 - x^2^raiz25 - x^2 x(8 - x - y) , dy , dx
Vamos agora expandir a expressão dentro da integral: