Integrais triplas (Esboçar o sólido)
Calcular onde é sólido delimitado pelo cilindro e pelo plano .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de integrais triplas. A gente tem que calcular a integral , onde o sólido é delimitado pelo cilindro e pelo plano . Aqui, vamos usar conhecimentos de cálculo multivariável, especialmente integrais triplas em coordenadas cartesianas. Precisamos entender bem os limites de integração para o cilindro e o plano para configurar a integral corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o sólido . O cilindro é um cilindro circular de raio 5, centrado no eixo z. O plano corta esse cilindro. Para achar os limites de integração, vamos resolver a equação do plano em relação a z:
Isso nos dá o limite superior para z.

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites para x e y. Já que estamos dentro do cilindro , podemos usar coordenadas polares para simplificar. Mas seguindo em coordenadas cartesianas:
Para y, para cada x fixo, y varia de a .
Para x, ele varia de -5 a 5, já que o raio do cilindro é 5.

Passo 4

Com os limites definidos, podemos escrever a integral tripla:
Aqui, o limite inferior para z é 0, assumindo que o cilindro está no plano z=0.

Passo 5

Vamos integrar em relação a z primeiro. A integral de x em relação a z é:

Passo 6

Substituindo de volta na integral, temos:
Vamos agora expandir a expressão dentro da integral:

Passo 7

Agora, integramos termo a termo em relação a y:
Vamos calcular cada parte:
  1. (porque é uma função ímpar sobre intervalo simétrico)

Passo 8

Então, a integral se simplifica para:
Observamos que a função é ímpar e integrada de -5 a 5, então seu valor será zero. Portanto, resta apenas:

Passo 9

Como a função é par, podemos simplificar a integral:
Vamos fazer a substituição , então , ou seja, .

Passo 10

Substituindo na integral:
Separando a integral:

Passo 11

Calculando as integrais:
Substituindo de volta:

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados

Calcule, se existir, o limite de , quando Resp.:
Verifique a continuidade de
Resp.: É contínua
[2,0 pontos] Considere um corpo de massa . Considere que esse corpo pode ser suspenso na vertical por duas molas ideais (diferentes e com constantes de mola e , mas de massa desprezível em relação a ) presas a um teto. As molas podem ser arranjadas de duas formas diferentes: (a) em série e (b) em paralelo. Qual a constante de mola equivalente no caso (a) e (b)? © Demonstre qual é o caso que necessita uma maior para sustentar o conjunto?
Um caixote de 100 kg , com dimensões de , é colocado na carroceria de um caminhão. Os coeficientes de atrito entre ele e a madeira da carroceria são e . Qual é a máxima aceleração que o caminhão pode desenvolver sem que o caixote escorregue?