Calcule, se existir, o limite. lim x 5 x^2-7 x+10raizx-raiz5

Passo 1

Vamos calcular o limite . Neste exercício, vamos usar conceitos de limites e algebratransformações para simplificar a expressão. Precisaremos manipular a expressão para eliminar a indeterminação que aparece quando se aproxima de 5.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos 5^2 - 7 times 5 + 10raiz5 - raiz5 = 25 - 35 + 100 = 00 diretamente na expressão:
Obtemos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Para simplificar, vamos fatorar o numerador x^2 - 7x + 10 = (x - 2)(x - 5) . Procuramos dois números que multiplicados dão 10 e somados dão -7. Esses números são -2 e -5:
(x - 2)(x - 5)raizx - raiz5
Então, a expressão fica:

Passo 4

Agora, para lidar com o denominador que contém radicais, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, que é (x - 2)(x - 5)raizx - raiz5 times raizx + raiz5raizx + raiz5 = (x - 2)(x - 5)(raizx + raiz5)x - 5 :
Note que , que simplificamos no denominador.

Passo 5

Com a simplificação anterior, o termo (x - 2)cancel(x - 5)(raizx + raiz5)cancelx - 5 = (x - 2)(raizx + raiz5) no numerador e denominador se cancelam:

Passo 6

Agora que a expressão está simplificada, podemos substituir (5 - 2)(raiz5 + raiz5) = 3 times (2raiz5) = 6raiz5 :

Resposta

lim x 5 x^2-7 x+10raizx-raiz5 = 6raiz5

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