Mostre que a função
não é contínua em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a função
não é contínua em
. A matéria que estamos trabalhando aqui é continuidade de funções, e para isso vamos precisar entender o que é limite e como calcular. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua em
se três condições forem satisfeitas:
-
está definida: ou seja, a função tem um valor em . - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
Vamos verificar essas condições para
.
Passo 3
Primeiro, vamos ver se
está definida. Olhando a função, vemos que quando
,
Então, a primeira condição tá ok!
Passo 4
Agora, precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 1. Para
, a função é:
Vamos simplificar essa expressão para facilitar o cálculo do limite.
Passo 5
Para simplificar
, vamos fatorar o numerador e o denominador:
- Numerador:
- Denominador:
Então, a função fica:
Passo 6
Agora, percebemos que
aparece no numerador e no denominador, e como
, podemos cancelar esses termos:
Então, para
, a função simplificada é
.
Passo 7
Com a função simplificada, vamos calcular o limite quando
se aproxima de 1:
Então, o limite de
quando
se aproxima de 1 é
.
Passo 8
Agora, vamos comparar o limite com o valor da função em
:
- Limite:
-
Como
, a terceira condição para continuidade não é satisfeita.
Resposta
Portanto, a função
não é contínua em
.
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