Mostre que a função
não é contínua em .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a função
não é contínua em . A matéria que estamos trabalhando aqui é continuidade de funções, e para isso vamos precisar entender o que é limite e como calcular. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se três condições forem satisfeitas:
  1. está definida: ou seja, a função tem um valor em .
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .
Vamos verificar essas condições para .

Passo 3

Primeiro, vamos ver se está definida. Olhando a função, vemos que quando ,
Então, a primeira condição tá ok!

Passo 4

Agora, precisamos calcular o limite de quando se aproxima de 1. Para , a função é:
Vamos simplificar essa expressão para facilitar o cálculo do limite.

Passo 5

Para simplificar , vamos fatorar o numerador e o denominador:
  • Numerador:
  • Denominador:
Então, a função fica:

Passo 6

Agora, percebemos que aparece no numerador e no denominador, e como , podemos cancelar esses termos:
Então, para , a função simplificada é .

Passo 7

Com a função simplificada, vamos calcular o limite quando se aproxima de 1:
Então, o limite de quando se aproxima de 1 é .

Passo 8

Agora, vamos comparar o limite com o valor da função em :
  • Limite:
Como , a terceira condição para continuidade não é satisfeita.

Resposta

Portanto, a função não é contínua em .

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