Determine L para que a função
seja contínua em
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida de duas formas diferentes: uma para qualquer valor de
que não seja 2, e outra especificamente para
. Queremos encontrar o valor de
que faz essa função ser contínua em
. Para isso, vamos usar o conceito de continuidade de funções, que basicamente diz que para a função ser contínua em um ponto, o limite quando
se aproxima desse ponto deve ser igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite da função quando
se aproxima de 2. A função dada é:
Vamos substituir
diretamente para ver o que acontece:
Obtivemos uma forma indeterminada
, então precisamos simplificar a expressão.
Passo 3
Vamos fatorar o numerador e o denominador para simplificar a fração:
Numerador:
Procuramos dois números que multiplicados dão 16 e somados dão -10. São -8 e -2.
Então:
Numerador:
Procuramos dois números que multiplicados dão 16 e somados dão -10. São -8 e -2.
Então:
Denominador:
Procuramos dois números que multiplicados dão 2 e somados dão -3. São -2 e -1.
Então:
Procuramos dois números que multiplicados dão 2 e somados dão -3. São -2 e -1.
Então:
Agora, substituímos na função:
Podemos cancelar o termo
porque
:
Passo 4
Agora, calculamos o limite dessa expressão simplificada quando
se aproxima de 2:
Resposta
Para a função ser contínua em
, o valor de
deve ser igual a -6.
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