Determine L para que a função
seja contínua em .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida de duas formas diferentes: uma para qualquer valor de que não seja 2, e outra especificamente para . Queremos encontrar o valor de que faz essa função ser contínua em . Para isso, vamos usar o conceito de continuidade de funções, que basicamente diz que para a função ser contínua em um ponto, o limite quando se aproxima desse ponto deve ser igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite da função quando se aproxima de 2. A função dada é:
Vamos substituir diretamente para ver o que acontece:
Obtivemos uma forma indeterminada , então precisamos simplificar a expressão.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador e o denominador para simplificar a fração:
Numerador:
Procuramos dois números que multiplicados dão 16 e somados dão -10. São -8 e -2.
Então:
Denominador:
Procuramos dois números que multiplicados dão 2 e somados dão -3. São -2 e -1.
Então:
Agora, substituímos na função:
Podemos cancelar o termo porque :

Passo 4

Agora, calculamos o limite dessa expressão simplificada quando se aproxima de 2:

Resposta

Para a função ser contínua em , o valor de deve ser igual a -6.

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