Determine e faça um esboço do domínio de cada uma das funções a seguir: f(x, y) = raiz(x^2 - 4y^2 - 4)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que determinar o domínio da função . Isso faz parte da matéria de Análise de Funções de Várias Variáveis, e para resolver vamos precisar entender onde a função está definida, ou seja, para quais valores de e a expressão dentro da raiz é válida.

Passo 2

A função está definida quando a expressão dentro da raiz quadrada é maior ou igual a zero, pois a raiz quadrada de um número negativo não é um número real. Então, precisamos resolver a seguinte desigualdade:

Passo 3

Vamos reorganizar a desigualdade para facilitar a análise:
Isso se assemelha à equação de uma hipérbole, que é uma curva geométrica definida por:

Passo 4

Comparando nossa desigualdade com a equação da hipérbole, identificamos que:
Isso significa que o domínio da função é o conjunto de todos os pares que satisfazem essa desigualdade. Geometricamente, isso corresponde aos pontos que estão fora ou sobre a hipérbole definida por:

Resposta

O domínio da função é o conjunto de todos os pares que satisfazem . No esboço, isso corresponde à região que está fora ou sobre a hipérbole .

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