Calcule, se existir, os limites abaixo: lim x 1 x^100-x^102x^101-x^100

Passo 1

Vamos calcular o limite . Esse exercício pertence ao conteúdo de Cálculo de Limites, especificamente envolvendo funções polinomiais e simplificação algébrica. Para resolver, vamos precisar manipular as expressões no numerador e denominador para facilitar o cálculo do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o numerador e o denominador separadamente:
Numerador:
Denominador:
Podemos fatorar no numerador e no denominador para simplificar:
Numerador fatorado:
Denominador fatorado:

Passo 3

Agora, substituímos as expressões fatoradas na fração original:
x^100(1 - x^2)x^100(x - 1)
Perceba que 1 - x^2x - 1 aparece tanto no numerador quanto no denominador, então podemos cancelar esse termo:

Passo 4

Observamos que 1 - x^2 = (1 - x)(1 + x) é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada da seguinte forma:
(1 - x)(1 + x)x - 1
Substituindo na fração:

Passo 5

Notamos que -(x - 1)(1 + x)x - 1 = - (1 + x) é igual a , então podemos escrever:
Aqui, o termo no numerador e denominador se cancela, restando apenas .

Passo 6

Agora, basta calcular o limite da expressão simplificada lim x 1 - (1 + x) = - (1 + 1) = -2 quando se aproxima de 1:

Resposta

O limite é .

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