Determine se
é contínua em
. Explique seu raciocínio.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar se a função vetorial
é contínua em
. Isso envolve entender o que significa uma função ser contínua e verificar cada parte dessa função vetorial para confirmar a continuidade nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se não há “saltos” ou “quebras” no gráfico dela nesse ponto. No caso de funções vetoriais, que têm várias componentes (como
,
e
), a função inteira é contínua se cada uma das suas componentes for contínua no mesmo ponto.
Passo 3
Agora, vamos analisar cada componente da nossa função
individualmente em
.
-
Componente
: Ela é constante, . Funções constantes são sempre contínuas em qualquer ponto, inclusive em . -
Componente
: Temos . A função dentro da raiz, , é uma função linear e contínua em todo . A raiz quadrada de uma função contínua também é contínua, desde que o que está dentro dela seja não negativa. Em , , que é positivo, então essa componente é contínua em . -
Componente
: Aqui temos . A função exponencial é contínua em todo ponto, então essa componente também é contínua em .
Passo 4
Como todas as componentes da função vetorial
são contínuas em
, podemos concluir que a função vetorial inteira também é contínua nesse ponto.
Resposta
Sim, a função vetorial
é contínua em
porque todas as suas componentes são contínuas nesse ponto.
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