Determine se r(t) é contínua em t = 0. Explique seu raciocínio. r(t) = 5i - raiz(3t + 1)j + e^(2t)k

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar se a função vetorial é contínua em t = 0. Isso envolve entender o que significa uma função ser contínua e verificar cada parte dessa função vetorial para confirmar a continuidade nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se não há “saltos” ou “quebras” no gráfico dela nesse ponto. No caso de funções vetoriais, que têm várias componentes (como i, j e k), a função inteira é contínua se cada uma das suas componentes for contínua no mesmo ponto.

Passo 3

Agora, vamos analisar cada componente da nossa função r(t) individualmente em t = 0.
  1. Componente i: Ela é constante, . Funções constantes são sempre contínuas em qualquer ponto, inclusive em t = 0.
  2. Componente j: Temos . A função dentro da raiz, , é uma função linear e contínua em todo t. A raiz quadrada de uma função contínua também é contínua, desde que o que está dentro dela seja não negativa. Em t = 0, , que é positivo, então essa componente é contínua em t = 0.
  3. Componente k: Aqui temos . A função exponencial é contínua em todo ponto, então essa componente também é contínua em t = 0.

Passo 4

Como todas as componentes da função vetorial r(t) são contínuas em t = 0, podemos concluir que a função vetorial inteira também é contínua nesse ponto.

Resposta

Sim, a função vetorial r(t) é contínua em t = 0 porque todas as suas componentes são contínuas nesse ponto.

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