Determine se é contínua em . Explique seu raciocínio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar se a função vetorial é contínua em . Isso envolve entender o que significa uma função ser contínua e verificar cada parte dessa função vetorial para confirmar a continuidade nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se não há “saltos” ou “quebras” no gráfico dela nesse ponto. No caso de funções vetoriais, que têm várias componentes (como , e ), a função inteira é contínua se cada uma das suas componentes for contínua no mesmo ponto.

Passo 3

Agora, vamos analisar cada componente da nossa função individualmente em .
  1. Componente : Ela é constante, . Funções constantes são sempre contínuas em qualquer ponto, inclusive em .
  2. Componente : Temos . A função dentro da raiz, , é uma função linear e contínua em todo . A raiz quadrada de uma função contínua também é contínua, desde que o que está dentro dela seja não negativa. Em , , que é positivo, então essa componente é contínua em .
  3. Componente : Aqui temos . A função exponencial é contínua em todo ponto, então essa componente também é contínua em .

Passo 4

Como todas as componentes da função vetorial são contínuas em , podemos concluir que a função vetorial inteira também é contínua nesse ponto.

Resposta

Sim, a função vetorial é contínua em porque todas as suas componentes são contínuas nesse ponto.

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