Calcule, se existir, os limites abaixo: lim x -3 x^2+2 x-3x^2+7 x+12

Passo 1

A gente tem o limite que precisa calcular: lim x -3 x^2+2 x-3x^2+7 x+12. Vamos usar o conteúdo de limites e álgebra para resolver isso. Precisamos fatorar o numerador e o denominador para simplificar a expressão e verificar se o limite existe.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o numerador x^2 + 2x - 3. Procuramos dois números que multiplicados dão -3 e somados dão 2. Esses números são 3 e -1. Então:
x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1)

Passo 3

Agora, vamos fatorar o denominador x^2 + 7x + 12. Procuramos dois números que multiplicados dão 12 e somados dão 7. Esses números são 3 e 4. Então:
x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)

Passo 4

Substituímos as fatorações na expressão do limite:
lim x -3 (x + 3)(x - 1)(x + 3)(x + 4)
Podemos simplificar cancelando o fator (x + 3), desde que x neq -3:
lim x -3 x - 1x + 4

Passo 5

Agora, substituímos x = -3 na expressão simplificada:
-3 - 1-3 + 4 = -41 = -4

Resposta

O limite é igual a -4.

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