Calcule, se existir, os limites abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando
se aproxima de
para a função
. Isso faz parte do estudo de limites de funções, um conceito fundamental no cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões racionais e aplicar propriedades dos limites.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
diretamente na função para ver se conseguimos encontrar o limite facilmente:
Encontramos uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos simplificar a expressão para seguir.
Passo 3
Quando encontramos uma forma indeterminada como
, uma técnica útil é fatorar o numerador e o denominador para cancelar termos comuns. Vamos fatorar o numerador
.
Perceba que
é uma soma de cubos, já que
. A fórmula para a soma de cubos é:
Aplicando isso ao nosso numerador, onde
e
:
Passo 4
Agora que fatoramos o numerador, substituímos de volta na expressão original:
Observe que o termo
está presente no numerador e no denominador, então podemos cancelá-los (desde que
, o que é válido para o limite):
Passo 5
Agora, a função simplificada é
. Podemos calcular o limite diretamente substituindo
:
Resposta
O limite é
.
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Resolva o problema de valor inicial vetorial para
por integração, usando as condições iniciais para determinar as constantes de integração.