Calcule, se existir, os limites abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando se aproxima de para a função . Isso faz parte do estudo de limites de funções, um conceito fundamental no cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões racionais e aplicar propriedades dos limites.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente na função para ver se conseguimos encontrar o limite facilmente:
Encontramos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão para seguir.

Passo 3

Quando encontramos uma forma indeterminada como , uma técnica útil é fatorar o numerador e o denominador para cancelar termos comuns. Vamos fatorar o numerador .
Perceba que é uma soma de cubos, já que . A fórmula para a soma de cubos é:
Aplicando isso ao nosso numerador, onde e :

Passo 4

Agora que fatoramos o numerador, substituímos de volta na expressão original:
Observe que o termo está presente no numerador e no denominador, então podemos cancelá-los (desde que , o que é válido para o limite):

Passo 5

Agora, a função simplificada é . Podemos calcular o limite diretamente substituindo :

Resposta

O limite é .

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Resolva o problema de valor inicial vetorial para por integração, usando as condições iniciais para determinar as constantes de integração.