Calcule, se existir, os limites abaixo: lim x -3 x^3+27x+3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando se aproxima de para a função . Isso faz parte do estudo de limites de funções, um conceito fundamental no cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões racionais e aplicar propriedades dos limites.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir (-3)^3 + 27-3 + 3 = -27 + 270 = 00 diretamente na função para ver se conseguimos encontrar o limite facilmente:
Encontramos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão para seguir.

Passo 3

Quando encontramos uma forma indeterminada como a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) , uma técnica útil é fatorar o numerador e o denominador para cancelar termos comuns. Vamos fatorar o numerador x^3 + 27 = (x + 3)(x^2 - 3x + 9) .
Perceba que é uma soma de cubos, já que . A fórmula para a soma de cubos é:
Aplicando isso ao nosso numerador, onde e :

Passo 4

Agora que fatoramos o numerador, substituímos de volta na expressão original:
x^3 + 27x + 3 = (x + 3)(x^2 - 3x + 9)x + 3
Observe que o termo (x + 3)(x^2 - 3x + 9)x + 3 = x^2 - 3x + 9 está presente no numerador e no denominador, então podemos cancelá-los (desde que , o que é válido para o limite):

Passo 5

Agora, a função simplificada é (-3)^2 - 3(-3) + 9 = 9 + 9 + 9 = 27 . Podemos calcular o limite diretamente substituindo :

Resposta

O limite é .

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