Calcule (se existir) os pontos de máximo ou mínimo das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos de máximo ou mínimo da função
. Para isso, vamos utilizar conhecimentos de cálculo multivariável, especificamente sobre como encontrar pontos críticos e determinar se eles são máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero. Então, vamos calcular essas derivadas.
Passo 3
Calculando a derivada parcial em relação a
:
E em relação a
:
Passo 4
Agora, igualamos as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 5
Para determinar se esse ponto crítico é um mínimo, máximo ou ponto de sela, vamos analisar a forma quadrática da função. Vamos completar o quadrado para facilitar essa análise.
Passo 6
Reescrevendo a função
:
Completando o quadrado para
:
E para
:
Passo 7
Substituindo de volta na função:
Observamos que
e
são sempre maiores ou iguais a zero, então o menor valor que a função pode atingir é
, que ocorre quando
e
.
Resposta
A função
possui um ponto de mínimo em
com o valor mínimo de
. Não existem pontos de máximo para essa função.