Calcule (se existir) os pontos de máximo ou mínimo das funções abaixo:
f(x, y) = x^2 + y^2 - 6x - 4y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos de máximo ou mínimo da função . Para isso, vamos utilizar conhecimentos de cálculo multivariável, especificamente sobre como encontrar pontos críticos e determinar se eles são máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero. Então, vamos calcular essas derivadas.

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a :
E em relação a :

Passo 4

Agora, igualamos as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 5

Para determinar se esse ponto crítico é um mínimo, máximo ou ponto de sela, vamos analisar a forma quadrática da função. Vamos completar o quadrado para facilitar essa análise.

Passo 6

Reescrevendo a função :
Completando o quadrado para :
E para :

Passo 7

Substituindo de volta na função:
Observamos que e são sempre maiores ou iguais a zero, então o menor valor que a função pode atingir é , que ocorre quando e .

Resposta

A função possui um ponto de mínimo em com o valor mínimo de . Não existem pontos de máximo para essa função.

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