Considere a função f: D -> R, em que D = {(x, y) ∈ R² | x ≥ 0} e y ≥ 0, dada por f(x, y) = x^2 + y^2 + 2. Mostre que Im(f) = [2, +∞).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que a imagem da função , definida para e , é o conjunto . Para isso, vamos usar conceitos de funções e análise de imagens de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a imagem de uma função. A imagem de , denotada por , é o conjunto de todos os valores que pode assumir quando varia no domínio .

Passo 3

A função dada é . Notamos que e são sempre maiores ou iguais a zero, já que são quadrados de números reais.

Passo 4

Então, . Adicionando 2 a ambos os lados, temos . Isso mostra que o menor valor que pode assumir é 2.

Passo 5

Agora, vamos ver se todos os valores a partir de 2 são realmente atingidos. Tomemos um valor qualquer . Queremos encontrar tais que .

Passo 6

Temos . Subtraindo 2 de ambos os lados, . Como , então .

Passo 7

Podemos escolher valores de e de forma que . Por exemplo, fixando , temos . Como , isso é válido.

Passo 8

Isso mostra que para qualquer , existe pelo menos um par no domínio que satisfaz . Portanto, todos os valores a partir de 2 estão na imagem de .

Resposta

A imagem da função é .

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