Considere a função
, em que
e
, dada por
. Mostre que
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que a imagem da função
, definida para
e
, é o conjunto
. Para isso, vamos usar conceitos de funções e análise de imagens de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a imagem de uma função. A imagem de
, denotada por
, é o conjunto de todos os valores que
pode assumir quando
varia no domínio
.
Passo 3
A função dada é
. Notamos que
e
são sempre maiores ou iguais a zero, já que são quadrados de números reais.
Passo 4
Então,
. Adicionando 2 a ambos os lados, temos
. Isso mostra que o menor valor que
pode assumir é 2.
Passo 5
Agora, vamos ver se todos os valores a partir de 2 são realmente atingidos. Tomemos um valor qualquer
. Queremos encontrar
tais que
.
Passo 6
Temos
. Subtraindo 2 de ambos os lados,
. Como
, então
.
Passo 7
Podemos escolher valores de
e
de forma que
. Por exemplo, fixando
, temos
. Como
, isso é válido.
Passo 8
Isso mostra que para qualquer
, existe pelo menos um par
no domínio
que satisfaz
. Portanto, todos os valores a partir de 2 estão na imagem de
.
Resposta
A imagem da função
é
.