Calcule (se existir) os pontos de máximo ou mínimo das funções abaixo:
f(x, y) = 2 x^3 + 2 x^2 + 3 x y + y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos os pontos de máximo ou mínimo da função . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e análise de pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais em relação a e são iguais a zero. Então, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a :
E a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, igualamos ambas as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de e .

Passo 5

Da segunda equação , podemos isolar :
Agora, substituímos na primeira equação:
Então, temos duas soluções para :

Passo 6

Agora, encontramos os valores correspondentes de :
  • Para :
  • Para :
Portanto, os pontos críticos são e .

Passo 7

Agora, precisamos determinar a natureza desses pontos críticos, ou seja, se são pontos de máximo, mínimo ou ponto de sela. Para isso, usamos a segunda derivada e o discriminante , que é dado por:
Primeiro, calculamos as segundas derivadas parciais:

Passo 8

Calculamos o discriminante nos pontos críticos:
  • Para :
Como , o ponto é um ponto de sela.
  • Para :
Como e , o ponto é um ponto de mínimo.

Resposta

A função possui um ponto de sela em e um ponto de mínimo em .

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