Calcule (se existir) os pontos de máximo ou mínimo das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos os pontos de máximo ou mínimo da função
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e análise de pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais em relação a
e
são iguais a zero. Então, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Calculando a derivada parcial em relação a
:
E a derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, igualamos ambas as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de
e
.
Passo 5
Da segunda equação
, podemos isolar
:
Agora, substituímos
na primeira equação:
Então, temos duas soluções para
:
Passo 6
Agora, encontramos os valores correspondentes de
:
- Para
:
- Para
:
Portanto, os pontos críticos são
e
.
Passo 7
Agora, precisamos determinar a natureza desses pontos críticos, ou seja, se são pontos de máximo, mínimo ou ponto de sela. Para isso, usamos a segunda derivada e o discriminante
, que é dado por:
Primeiro, calculamos as segundas derivadas parciais:
Passo 8
Calculamos o discriminante
nos pontos críticos:
- Para
:
Como
, o ponto
é um ponto de sela.
- Para
:
Como
e
, o ponto
é um ponto de mínimo.
Resposta
A função
possui um ponto de sela em
e um ponto de mínimo em
.