Considere a função
.
Faça um mapa de contorno de
com, no mínimo, 5 curvas de nível.
Faça um mapa de contorno de
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem a função
e precisa fazer um mapa de contorno dela com pelo menos 5 curvas de nível. Isso está relacionado ao estudo de funções de duas variáveis e como representamos graficamente essas funções usando curvas que mostram onde a função tem o mesmo valor.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um mapa de contorno. Basicamente, é um gráfico que mostra linhas onde a função
tem valores constantes. Essas linhas são chamadas de curvas de nível. Para fazer isso, precisamos escolher alguns valores específicos para
e descobrir quais pontos
satisfazem esses valores.
Passo 3
Vamos começar escolhendo 5 valores diferentes para
. Vamos chamar esses valores de
. Por exemplo, podemos escolher
. Cada um desses valores vai nos dar uma curva de nível diferente.
Passo 4
Agora, para cada valor de
, vamos resolver a equação
:
Vamos simplificar essa equação. Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Dividindo tudo por 4:
Essa é a equação de um círculo com centro na origem
e raio
.
Passo 5
Agora que sabemos que cada curva de nível é um círculo com raio
, vamos traçar esses círculos no plano
para cada valor de
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Cada uma dessas equações representa um círculo com raios 1, 2, 3, 4 e 5, respectivamente.
Resposta
O mapa de contorno da função
consiste em cinco círculos concêntricos com centro na origem e raios 1, 2, 3, 4 e 5. Cada círculo corresponde a uma curva de nível para
, respectivamente.