Considere a função f(x, y) = raiz(4x^2 + 4y^2).
Faça um mapa de contorno de f com, no mínimo, 5 curvas de nível.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem a função e precisa fazer um mapa de contorno dela com pelo menos 5 curvas de nível. Isso está relacionado ao estudo de funções de duas variáveis e como representamos graficamente essas funções usando curvas que mostram onde a função tem o mesmo valor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um mapa de contorno. Basicamente, é um gráfico que mostra linhas onde a função tem valores constantes. Essas linhas são chamadas de curvas de nível. Para fazer isso, precisamos escolher alguns valores específicos para e descobrir quais pontos satisfazem esses valores.

Passo 3

Vamos começar escolhendo 5 valores diferentes para . Vamos chamar esses valores de . Por exemplo, podemos escolher . Cada um desses valores vai nos dar uma curva de nível diferente.

Passo 4

Agora, para cada valor de , vamos resolver a equação :
Vamos simplificar essa equação. Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Dividindo tudo por 4:
Essa é a equação de um círculo com centro na origem e raio .

Passo 5

Agora que sabemos que cada curva de nível é um círculo com raio , vamos traçar esses círculos no plano para cada valor de :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Cada uma dessas equações representa um círculo com raios 1, 2, 3, 4 e 5, respectivamente.

Resposta

O mapa de contorno da função consiste em cinco círculos concêntricos com centro na origem e raios 1, 2, 3, 4 e 5. Cada círculo corresponde a uma curva de nível para , respectivamente.

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