Calcule, se existir, os seguintes limites: lim x 0 raiz1+sen(x)-raiz1-sen(x)x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite quando limx 0 raiz1+sin(x) - raiz1-sin(x)x se aproxima de 0 da expressão:
Estamos lidando com Cálculo, mais especificamente com limites. Para resolver isso, vamos precisar manipular a expressão para simplificá-la e então aplicar as regras de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar o numerador. Temos a diferença de duas raízes quadradas:
raiz1+sin(x) - raiz1-sin(x)
Para facilitar, vamos multiplicar e dividir por raiz1+sin(x) - raiz1-sin(x)x times raiz1+sin(x) + raiz1-sin(x)raiz1+sin(x) + raiz1-sin(x) = (1+sin(x)) - (1-sin(x))x ( raiz1+sin(x) + raiz1-sin(x) ) . Isso é útil porque utiliza a identidade , que ajuda a eliminar as raízes.
Multiplicando numerador e denominador por , temos:

Passo 3

Simplificando o numerador:
(1+sin(x)) - (1-sin(x)) = 1 + sin(x) - 1 + sin(x) = 2sin(x)
Agora, a expressão fica:
2sin(x)x ( raiz1+sin(x) + raiz1-sin(x) )

Passo 4

Vamos separar os termos:
2sin(x)x times 1raiz1+sin(x) + raiz1-sin(x)
Sabemos que:
limx 0 sin(x)x = 1
E quando raiz1+sin(x) approx raiz1+0 = 1 se aproxima de 0, raiz1-sin(x) approx raiz1-0 = 1 também se aproxima de 0. Então:
raiz1+sin(x) + raiz1-sin(x) approx 1 + 1 = 2
Portanto:

Passo 5

Agora, substituindo os limites:
limx 0 2sin(x)x times 12 = 2 times 1 times 12 = 1

Resposta

O limite é igual a 1.

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