Resolva as inequações:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a inequação pra resolver. O conteúdo que vai rolar aqui envolve funções e inequações algébricas, especialmente quando trabalhamos com expressões que têm frações e variáveis no denominador. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de algumas propriedades básicas de inequações e também de uma dica clássica da matemática chamada máximo e mínimo.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a expressão só faz sentido quando , já que dividir por zero não é possível. Então, já podemos dizer que não pode ser zero. Além disso, vamos considerar separadamente os casos quando é positivo e quando é negativo, porque isso pode mudar o comportamento da inequação.

Passo 3

Vamos começar assumindo que . Quando é positivo, tanto quanto são positivos. Nesse cenário, podemos usar uma técnica legal chamada AM ≥ GM, que significa que a média aritmética é sempre maior ou igual à média geométrica para números positivos.
Aplicando isso aqui:
Simplificando o lado direito:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Ah, olha só! Isso iguala exatamente a nossa inequação original. Isso quer dizer que para todo , a inequação é satisfeita, e a igualdade acontece quando .

Passo 4

Agora, vamos olhar o caso em que . Se for negativo, também será negativo. Somando dois números negativos, o resultado sempre será menor que zero, que é certamente menor que 2. Então, para , a inequação não é satisfeita.

Resposta

A solução da inequação é todo número real positivo. Ou seja, .

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