Resolva as inequações:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a inequação
pra resolver. O conteúdo que vai rolar aqui envolve funções e inequações algébricas, especialmente quando trabalhamos com expressões que têm frações e variáveis no denominador. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de algumas propriedades básicas de inequações e também de uma dica clássica da matemática chamada máximo e mínimo.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que a expressão
só faz sentido quando
, já que dividir por zero não é possível. Então, já podemos dizer que
não pode ser zero. Além disso, vamos considerar separadamente os casos quando
é positivo e quando é negativo, porque isso pode mudar o comportamento da inequação.
Passo 3
Vamos começar assumindo que
. Quando
é positivo, tanto
quanto
são positivos. Nesse cenário, podemos usar uma técnica legal chamada AM ≥ GM, que significa que a média aritmética é sempre maior ou igual à média geométrica para números positivos.
Aplicando isso aqui:
Simplificando o lado direito:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Ah, olha só! Isso iguala exatamente a nossa inequação original. Isso quer dizer que para todo
, a inequação
é satisfeita, e a igualdade acontece quando
.
Passo 4
Agora, vamos olhar o caso em que
. Se
for negativo,
também será negativo. Somando dois números negativos, o resultado sempre será menor que zero, que é certamente menor que 2. Então, para
, a inequação
não é satisfeita.
Resposta
A solução da inequação
é todo número real positivo. Ou seja,
.
Exercícios relacionados
Calcule, se existir, os seguintes limites:
Descreva o movimento de uma partícula com posição
quando
varia do intervalo dado. (a)
Encontre a área da região que está dentro de ambas as curvas