Descreva o movimento de uma partícula com posição quando varia do intervalo dado. (a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá as posições e de uma partícula em função do tempo no intervalo de a . A matéria que vamos usar aqui é Movimento Paramétrico, onde descrevemos a trajetória de um objeto usando equações que dependem de uma terceira variável, que nesse caso é o tempo. Precisamos entender como e mudam conforme varia nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as equações dadas:
Essas equações representam as posições e da partícula em função de . Observamos que ambas as funções envolvem cosseno e seno, que são funções trigonométricas usadas para descrever movimentos circulares.

Passo 3

Para entender a trajetória, podemos eliminar a variável . Sabemos que:
Vamos isolar e das equações de e :
Substituindo na identidade trigonométrica:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por 4:

Passo 4

Essa última equação é a forma padrão da equação de um círculo com centro em e raio (já que ). Então, a trajetória da partícula é um círculo com essas características.

Passo 5

Agora, vamos ver o intervalo de para entender o movimento específico da partícula. varia de a . Sabemos que corresponde ao ponto e corresponde ao ponto . Portanto, a partícula se move de cima para baixo no círculo.

Resposta

A partícula se move ao longo de um círculo de raio 2 com centro no ponto (3, 1), começando na posição (3, 3) e seguindo no sentido horário até chegar em (3, -1) conforme o tempo varia de a .

Exercícios relacionados

Resolva as inequações:
Calcule, se existir, os seguintes limites:
Encontre a área da região que está dentro de ambas as curvas
Calcule os seguintes limites: