Descreva o movimento de uma partícula com posição
quando
varia do intervalo dado. (a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá as posições
e
de uma partícula em função do tempo
no intervalo de
a
. A matéria que vamos usar aqui é Movimento Paramétrico, onde descrevemos a trajetória de um objeto usando equações que dependem de uma terceira variável, que nesse caso é o tempo. Precisamos entender como
e
mudam conforme
varia nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as equações dadas:
Essas equações representam as posições
e
da partícula em função de
. Observamos que ambas as funções envolvem cosseno e seno, que são funções trigonométricas usadas para descrever movimentos circulares.
Passo 3
Para entender a trajetória, podemos eliminar a variável
. Sabemos que:
Vamos isolar
e das equações de
e
:
Substituindo na identidade trigonométrica:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por 4:
Passo 4
Essa última equação é a forma padrão da equação de um círculo com centro em
e raio
(já que
). Então, a trajetória da partícula é um círculo com essas características.
Passo 5
Agora, vamos ver o intervalo de
para entender o movimento específico da partícula.
varia de
a
. Sabemos que
corresponde ao ponto
e
corresponde ao ponto
. Portanto, a partícula se move de cima para baixo no círculo.
Resposta
A partícula se move ao longo de um círculo de raio 2 com centro no ponto (3, 1), começando na posição (3, 3) e seguindo no sentido horário até chegar em (3, -1) conforme o tempo varia de
a
.
Exercícios relacionados
Resolva as inequações:
Calcule, se existir, os seguintes limites:
Encontre a área da região que está dentro de ambas as curvas
Calcule os seguintes limites: