Descreva o movimento de uma partícula com posição (x, y) quando t varia do intervalo dado. (a) x = 3 + 2 cos(t), y = 1 + 2 sen(t), pi / 2 <= t <= 3 pi / 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá as posições e de uma partícula em função do tempo no intervalo de a . A matéria que vamos usar aqui é Movimento Paramétrico, onde descrevemos a trajetória de um objeto usando equações que dependem de uma terceira variável, que nesse caso é o tempo. Precisamos entender como e mudam conforme varia nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as equações dadas:
Essas equações representam as posições e da partícula em função de . Observamos que ambas as funções envolvem cosseno e seno, que são funções trigonométricas usadas para descrever movimentos circulares.

Passo 3

Para entender a trajetória, podemos eliminar a variável . Sabemos que:
Vamos isolar e das equações de e :
Substituindo na identidade trigonométrica:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por 4:

Passo 4

Essa última equação é a forma padrão da equação de um círculo com centro em e raio (já que ). Então, a trajetória da partícula é um círculo com essas características.

Passo 5

Agora, vamos ver o intervalo de para entender o movimento específico da partícula. varia de a . Sabemos que corresponde ao ponto e corresponde ao ponto . Portanto, a partícula se move de cima para baixo no círculo.

Resposta

A partícula se move ao longo de um círculo de raio 2 com centro no ponto (3, 1), começando na posição (3, 3) e seguindo no sentido horário até chegar em (3, -1) conforme o tempo varia de a .

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