Calcule, se existir, os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O problema que temos é calcular:
Esse exercício está ligado ao conteúdo de limites e, mais especificamente, à avaliação de limites que resultam em indeterminações do tipo
. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de racionalização, que envolve multiplicar o numerador e o denominador pelos conjugados para eliminar as raízes quadradas.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos
diretamente na expressão:
Numerador:
Denominador:
Como obtemos
, que é uma indeterminação, precisamos aplicar uma técnica para simplificar a expressão. Vamos usar a racionalização.
Passo 3
Vamos multiplicar o numerador e o denominador pelos conjugados para eliminar as raízes quadradas.
Primeiro, multiplicamos o numerador pelo seu conjugado:
E o denominador pelo seu conjugado:
Então, nossa expressão fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular os produtos:
No numerador:
No denominador:
Então, a expressão simplificada fica:
Passo 5
Simplificando
:
Podemos fatorar o numerador:
Então:
Agora, nossa expressão está assim:
Passo 6
Agora que simplificamos a expressão, podemos substituir
diretamente: