Calcule, se existir, os seguintes limites: lim x 4 raiz3 x-8-2raizx-2-raiz2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O problema que temos é calcular:
lim x 4 raiz3 x-8-2raizx-2-raiz2
Esse exercício está ligado ao conteúdo de limites e, mais especificamente, à avaliação de limites que resultam em indeterminações do tipo . Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de racionalização, que envolve multiplicar o numerador e o denominador pelos conjugados para eliminar as raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos raiz3 cdot 4 - 8 - 2 = raiz12 - 8 - 2 = raiz4 - 2 = 2 - 2 = 0 diretamente na expressão:
Numerador:
raiz4 - 2 - raiz2 = raiz2 - raiz2 = 0
Denominador:
Como obtemos , que é uma indeterminação, precisamos aplicar uma técnica para simplificar a expressão. Vamos usar a racionalização.

Passo 3

Vamos multiplicar o numerador e o denominador pelos conjugados para eliminar as raízes quadradas.
Primeiro, multiplicamos o numerador pelo seu conjugado:
raiz3x - 8 - 2 e raiz3x - 8 + 2
E o denominador pelo seu conjugado:
raizx - 2 - raiz2 e raizx - 2 + raiz2
Então, nossa expressão fica:
raiz3x - 8 - 2raizx - 2 - raiz2 times raiz3x - 8 + 2raiz3x - 8 + 2 times raizx - 2 + raiz2raizx - 2 + raiz2

Passo 4

Agora, vamos calcular os produtos:
No numerador:
(raiz3x - 8 - 2)(raiz3x - 8 + 2) = (raiz3x - 8)^2 - (2)^2 = 3x - 8 - 4 = 3x - 12
No denominador:
(raizx - 2 - raiz2)(raizx - 2 + raiz2) = (raizx - 2)^2 - (raiz2)^2 = x - 2 - 2 = x - 4
Então, a expressão simplificada fica:
3x - 12x - 4 times raizx - 2 + raiz2raiz3x - 8 + 2

Passo 5

Simplificando 3x - 12 = 3(x - 4) :
Podemos fatorar o numerador:
3(x - 4)x - 4 = 3 (desde que x neq 4)
Então:
3 times raizx - 2 + raiz2raiz3x - 8 + 2
Agora, nossa expressão está assim:

Passo 6

Agora que simplificamos a expressão, podemos substituir 3 times raiz4 - 2 + raiz2raiz3 cdot 4 - 8 + 2 = 3 times raiz2 + raiz2raiz12 - 8 + 2 = 3 times 2raiz22 + 2 = 3 times 2raiz24 = 3 times raiz22 = 3raiz22 diretamente:

Resposta

lim x 4 raiz3 x-8-2raizx-2-raiz2 = 3raiz22

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