Para todas as afirmações a seguir n denota um número natural. Determine o conjunto verdade das seguintes proposições abertas:
(a) n^2 < 12
(b) 3 n + 1 < 25
© 3 n + 1 < 25 e n + 1 > 4
(d) n < 5 ou n > 3
(e) n é primo e não é verdade que n > 17

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos o conjunto verdade de várias proposições envolvendo números naturais . Isso significa encontrar quais valores de tornam cada afirmação verdadeira. Vamos precisar lembrar um pouco sobre desigualdades, números primos e operações básicas. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver . Queremos descobrir quais números naturais ao quadrado são menores que 12.
Sabemos que números naturais são 1, 2, 3, etc. Vamos calcular:
  • não é menor que 12 ❌
Então, os valores de que satisfazem a desigualdade são 1, 2 e 3.

Passo 3

Agora, vamos resolver . Queremos encontrar tal que essa expressão seja verdadeira.
Primeiro, subtraímos 1 de ambos os lados:
Agora, dividimos por 3:
Como é um número natural, os valores possíveis são 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7.

Passo 4

Aqui temos duas condições que precisam ser verdadeiras ao mesmo tempo.
Já resolvemos e encontramos .
Agora, vamos resolver :
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Então, combinando as duas condições:
Os números naturais que satisfazem isso são 4, 5, 6 e 7.

Passo 5

Aqui usamos o “ou”, o que significa que basta uma das condições ser verdadeira.
Vamos analisar:
  • : 1, 2, 3, 4
  • : 4, 5, 6, …
Combinando as duas, os números que satisfazem pelo menos uma das condições são 1, 2, 3, 4, 5, 6, … ou seja, todos os números naturais exceto 4 é repetido.
Na prática, o conjunto verdade é todo número natural, pois qualquer número é menor que 5 ou maior que 3.

Passo 6

Primeiro, vamos lembrar o que é um número primo: é um número natural maior que 1 que só é divisível por 1 e por ele mesmo.
A segunda parte diz que não é verdade que , ou seja, .
Então, queremos números primos que são menores ou iguais a 17.
Listando os números primos até 17:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17.

Resposta

(a)
(b)
©
(d) Todos os números naturais (infinito)
(e)

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