Para todas as afirmações a seguir
denota um número natural. Determine o conjunto verdade das seguintes proposições abertas:
(a)
(b)
©
e
(d)
ou
(e)
é primo e não é verdade que
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos o conjunto verdade de várias proposições envolvendo números naturais
. Isso significa encontrar quais valores de
tornam cada afirmação verdadeira. Vamos precisar lembrar um pouco sobre desigualdades, números primos e operações básicas. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver
. Queremos descobrir quais números naturais ao quadrado são menores que 12.
Sabemos que números naturais são 1, 2, 3, etc. Vamos calcular:
-
✅ -
✅ -
✅ -
não é menor que 12 ❌
Então, os valores de
que satisfazem a desigualdade são 1, 2 e 3.
Passo 3
Agora, vamos resolver
. Queremos encontrar
tal que essa expressão seja verdadeira.
Primeiro, subtraímos 1 de ambos os lados:
Agora, dividimos por 3:
Como
é um número natural, os valores possíveis são 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7.
Passo 4
Aqui temos duas condições que precisam ser verdadeiras ao mesmo tempo.
Já resolvemos
e encontramos
.
Agora, vamos resolver
:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Então, combinando as duas condições:
Os números naturais que satisfazem isso são 4, 5, 6 e 7.
Passo 5
Aqui usamos o “ou”, o que significa que basta uma das condições ser verdadeira.
Vamos analisar:
-
: 1, 2, 3, 4 -
: 4, 5, 6, …
Combinando as duas, os números que satisfazem pelo menos uma das condições são 1, 2, 3, 4, 5, 6, … ou seja, todos os números naturais exceto 4 é repetido.
Na prática, o conjunto verdade é todo número natural, pois qualquer número é menor que 5 ou maior que 3.
Passo 6
Primeiro, vamos lembrar o que é um número primo: é um número natural maior que 1 que só é divisível por 1 e por ele mesmo.
A segunda parte diz que não é verdade que
, ou seja,
.
Então, queremos números primos que são menores ou iguais a 17.
Listando os números primos até 17:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17.
Resposta
(a)
(b)
©
(d) Todos os números naturais (infinito)
(e)