Verifique que
e
são soluções de
no intervalo
. Determine um valor de
para que
seja uma solução singular para a equação diferencial.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para a gente confirmar que as funções
e
resolvem a equação diferencial
no intervalo
. Além disso, precisamos encontrar um valor para
de forma que
seja uma solução singular dessa equação diferencial. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas e equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
é solução da equação diferencial
.
Calculando a derivada de
em relação a
:
Agora, substituindo
e
na equação diferencial:
Viram só? A igualdade é verdadeira, então
é de fato uma solução da equação.
Passo 3
Agora, vamos fazer o mesmo para
.
Calculando a derivada de
:
Substituindo na equação diferencial:
Mais uma vez, a igualdade se mantém verdadeira. Portanto,
também é uma solução da equação diferencial.
Passo 4
Agora, vamos determinar o valor de
para que
seja uma solução singular da equação diferencial
.
Uma solução singular é aquela que não pode ser obtida pela família geral de soluções da equação diferencial. Para encontrá-la, podemos igualar a expressão de
e
com a equação dada.
Primeiro, calculamos a derivada de
:
Substituindo
e
na equação diferencial:
Multiplicando ambos os lados por
(assumindo
e
):
Aqui percebemos um problema: o lado direito é negativo, enquanto o lado esquerdo é sempre positivo (já que
é positivo). Isso significa que não existe um valor real de
que satisfaça essa igualdade para todo
.
Porém, a única possibilidade é quando
tende a zero, mas isso não gera uma solução válida para toda a equação diferencial. Portanto, não existe um valor real de
que torne
uma solução singular da equação dada.
Resposta
Não existe um valor real de
que faça
ser uma solução singular da equação diferencial
.
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Classifique as equações diferenciais dizendo se clas são lineares ou não-lineares. Dê também a ordem c o grau de cada equação.
5.)
5.)
Calcule, se existir, os seguintes limites:
Calcule os seguintes limites:
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