Verifique que e são soluções de no intervalo . Determine um valor de para que seja uma solução singular para a equação diferencial.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente confirmar que as funções e resolvem a equação diferencial no intervalo . Além disso, precisamos encontrar um valor para de forma que seja uma solução singular dessa equação diferencial. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas e equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se é solução da equação diferencial .
Calculando a derivada de em relação a :
Agora, substituindo e na equação diferencial:
Viram só? A igualdade é verdadeira, então é de fato uma solução da equação.

Passo 3

Agora, vamos fazer o mesmo para .
Calculando a derivada de :
Substituindo na equação diferencial:
Mais uma vez, a igualdade se mantém verdadeira. Portanto, também é uma solução da equação diferencial.

Passo 4

Agora, vamos determinar o valor de para que seja uma solução singular da equação diferencial .
Uma solução singular é aquela que não pode ser obtida pela família geral de soluções da equação diferencial. Para encontrá-la, podemos igualar a expressão de e com a equação dada.
Primeiro, calculamos a derivada de :
Substituindo e na equação diferencial:
Multiplicando ambos os lados por (assumindo e ):
Aqui percebemos um problema: o lado direito é negativo, enquanto o lado esquerdo é sempre positivo (já que é positivo). Isso significa que não existe um valor real de que satisfaça essa igualdade para todo .
Porém, a única possibilidade é quando tende a zero, mas isso não gera uma solução válida para toda a equação diferencial. Portanto, não existe um valor real de que torne uma solução singular da equação dada.

Resposta

Não existe um valor real de que faça ser uma solução singular da equação diferencial .

Exercícios relacionados

Classifique as equações diferenciais dizendo se clas são lineares ou não-lineares. Dê também a ordem c o grau de cada equação.
5.)
Calcule, se existir, os seguintes limites:
Calcule os seguintes limites:
Calcule os seguintes limites: