Calcule, se existir, o valor de
, sendo a função
dada por
Em seguida, esboce o gráfico de
e determine o conjunto dos pontos onde
é contínua.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos calcular o limite
onde a função
é definida por partes:
Vamos precisar usar conceitos de limites, funções definidas por partes e continuidade para resolver esse problema.
Passo 2
Começamos calculando
. Como
está incluído na parte
da função, temos:
Passo 3
Agora, vamos analisar o limite separadamente para
se aproximando de 1 pela direita (
) e pela esquerda (
).
Para
:
Aqui,
, então usamos
. O limite fica:
Para resolver, observamos que a expressão é da forma
, então podemos aplicar a regra de L’Hôpital:
Derivamos o numerador e o denominador:
- Derivada de
é - Derivada de
é 1
Então, o limite se torna:
Para
:
Aqui,
, então usamos
. O limite fica:
Podemos fatorar o numerador:
Assim, simplificamos a expressão:
Então, o limite é:
Passo 4
Comparando os limites pela direita e pela esquerda:
Como os limites laterais são diferentes, o limite geral
não existe.
Passo 5
Agora, vamos esboçar o gráfico de
e determinar os pontos de continuidade.
Para
:
é uma função contínua nesse intervalo.
Para
:
também é contínua nesse intervalo.
No ponto
, verificamos a continuidade:
-
-
e
Como os limites laterais e
são iguais, a função é contínua em
.
Resposta
O limite
não existe. Além disso, a função
é contínua em todos os pontos do seu domínio.
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Prove que a reta é contínua, ou seja, dados
, a função
é contínua.
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Calcule os seguintes limites, especificando em cada passagem a propriedade/resultado utilizado:
©
©
Calcule os seguintes limites, especificando em cada passagem a propriedade/resultado utilizado:
(b)
(b)