Calcule, se existir, o valor de , sendo a função dada por
Em seguida, esboce o gráfico de e determine o conjunto dos pontos onde é contínua.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos calcular o limite
onde a função é definida por partes:
Vamos precisar usar conceitos de limites, funções definidas por partes e continuidade para resolver esse problema.

Passo 2

Começamos calculando . Como está incluído na parte da função, temos:

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite separadamente para se aproximando de 1 pela direita ( ) e pela esquerda ( ).
Para :
Aqui, , então usamos . O limite fica:
Para resolver, observamos que a expressão é da forma , então podemos aplicar a regra de L’Hôpital:
Derivamos o numerador e o denominador:
  • Derivada de é
  • Derivada de é 1
Então, o limite se torna:
Para :
Aqui, , então usamos . O limite fica:
Podemos fatorar o numerador:
Assim, simplificamos a expressão:
Então, o limite é:

Passo 4

Comparando os limites pela direita e pela esquerda:
Como os limites laterais são diferentes, o limite geral não existe.

Passo 5

Agora, vamos esboçar o gráfico de e determinar os pontos de continuidade.
Para : é uma função contínua nesse intervalo.
Para : também é contínua nesse intervalo.
No ponto , verificamos a continuidade:
  • e
Como os limites laterais e são iguais, a função é contínua em .

Resposta

O limite não existe. Além disso, a função é contínua em todos os pontos do seu domínio.

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Calcule os seguintes limites, especificando em cada passagem a propriedade/resultado utilizado:
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Calcule os seguintes limites, especificando em cada passagem a propriedade/resultado utilizado:
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