Calcule, se existir, o valor de lim x 1 f(x)-f(1)x-1, sendo a função f dada por
f(x)= raizx, & se x >= 1 x^2, & se x<1
Em seguida, esboce o gráfico de f e determine o conjunto dos pontos onde f é contínua.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos calcular o limite
limx 1 f(x)-f(1)x-1
onde a função f(x)= raizx, & se x >= 1 x^2, & se x < 1 é definida por partes:
Vamos precisar usar conceitos de limites, funções definidas por partes e continuidade para resolver esse problema.

Passo 2

Começamos calculando f(1) = raiz1 = 1 . Como está incluído na parte da função, temos:

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite separadamente para limx 1^+ raizx - 1x - 1 se aproximando de 1 pela direita ( limx 1^+ 12raizx1 = 12raiz1 = 12 ) e pela esquerda ( limx 1^- x^2 - 1x - 1 ).
Para x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) :
Aqui, (x - 1)(x + 1)x - 1 = x + 1 , então usamos limx 1^- (x + 1) = 1 + 1 = 2 . O limite fica:
Para resolver, observamos que a expressão é da forma , então podemos aplicar a regra de L’Hôpital:
Derivamos o numerador e o denominador:
  • Derivada de é
  • Derivada de é 1
Então, o limite se torna:
Para :
Aqui, , então usamos . O limite fica:
Podemos fatorar o numerador:
Assim, simplificamos a expressão:
Então, o limite é:

Passo 4

Comparando os limites pela direita e pela esquerda:
Como os limites laterais são diferentes, o limite geral não existe.

Passo 5

Agora, vamos esboçar o gráfico de e determinar os pontos de continuidade.
Para : é uma função contínua nesse intervalo.
Para : também é contínua nesse intervalo.
No ponto , verificamos a continuidade:
  • e
Como os limites laterais e são iguais, a função é contínua em .

Resposta

O limite não existe. Além disso, a função é contínua em todos os pontos do seu domínio.

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