Considere uma região retangular (uma folha A4, por exemplo). Divida essa região pela metade. Em seguida, divida o que restou pela metade. Repita esse procedimento sucessiva e indefinidamente. No limite, ou seja, à medida que o número de divisões cresce, que figura geométrica resultará?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma região retangular, tipo uma folha A4. A ideia é dividir essa região pela metade várias vezes, sempre dividindo o que restar pela metade novamente e assim por diante, infinitamente. Nosso objetivo aqui é descobrir qual figura geométrica a gente vai acabar chegando quando continuarmos dividindo desse jeito. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria e limites matemáticos.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em como estamos dividindo a região retangular. Dividir pela metade significa que a cada passo, estamos reduzindo uma dimensão pela metade. Vamos supor que estamos sempre dividindo a dimensão maior do retângulo.
Vamos considerar que a nossa folha A4 tem um comprimento e uma largura . Na primeira divisão, dividimos a folha ao meio, então o novo comprimento será e a largura permanece .

Passo 3

Na segunda divisão, pegamos a parte que restou, que agora tem um comprimento de , e dividimos isso de novo pela metade. Então, o novo comprimento será , mantendo a largura .

Passo 4

Continuando esse processo, percebemos que a cada divisão, o comprimento está sendo multiplicado por . Após divisões, o comprimento será .

Passo 5

Agora, vamos pensar no que acontece quando tende ao infinito, ou seja, quando continuamos dividindo pela metade infinitamente. O limite de quando vai para o infinito é zero, porque cresce muito rápido.

Passo 6

Então, o comprimento está se aproximando de zero, enquanto a largura continua a mesma. Isso significa que, no limite, a figura não terá comprimento, apenas uma largura.

Passo 7

Geometricamente, se o comprimento de um retângulo está se tornando zero, a figura resultante será uma linha reta sem extensão na direção do comprimento original. Ou seja, uma linha bidimensional com apenas uma dimensão visível.

Resposta

No limite, ao dividir a região retangular sucessivamente pela metade, a figura geométrica resultante será uma linha reta.

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Demonstre, pela definição, os seguintes limites:
(a)
©
(e)
(b)
(d)
(f)
Determine, se existir, os seguintes limites:
(m)
Prove que a reta é contínua, ou seja, dados , a função é contínua.
Calcule, se existir, o valor de , sendo a função dada por
Em seguida, esboce o gráfico de e determine o conjunto dos pontos onde é contínua.