Considere uma região retangular (uma folha A4, por exemplo). Divida essa região pela metade. Em seguida, divida o que restou pela metade. Repita esse procedimento sucessiva e indefinidamente. No limite, ou seja, à medida que o número de divisões cresce, que figura geométrica resultará?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma região retangular, tipo uma folha A4. A ideia é dividir essa região pela metade várias vezes, sempre dividindo o que restar pela metade novamente e assim por diante, infinitamente. Nosso objetivo aqui é descobrir qual figura geométrica a gente vai acabar chegando quando continuarmos dividindo desse jeito. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria e limites matemáticos.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar em como estamos dividindo a região retangular. Dividir pela metade significa que a cada passo, estamos reduzindo uma dimensão pela metade. Vamos supor que estamos sempre dividindo a dimensão maior do retângulo.
Vamos considerar que a nossa folha A4 tem um comprimento
e uma largura
. Na primeira divisão, dividimos a folha ao meio, então o novo comprimento será
e a largura permanece
.
Passo 3
Na segunda divisão, pegamos a parte que restou, que agora tem um comprimento de
, e dividimos isso de novo pela metade. Então, o novo comprimento será
, mantendo a largura
.
Passo 4
Continuando esse processo, percebemos que a cada divisão, o comprimento está sendo multiplicado por
. Após
divisões, o comprimento será
.
Passo 5
Agora, vamos pensar no que acontece quando
tende ao infinito, ou seja, quando continuamos dividindo pela metade infinitamente. O limite de
quando
vai para o infinito é zero, porque
cresce muito rápido.
Passo 6
Então, o comprimento está se aproximando de zero, enquanto a largura
continua a mesma. Isso significa que, no limite, a figura não terá comprimento, apenas uma largura.
Passo 7
Geometricamente, se o comprimento de um retângulo está se tornando zero, a figura resultante será uma linha reta sem extensão na direção do comprimento original. Ou seja, uma linha bidimensional com apenas uma dimensão visível.
Resposta
No limite, ao dividir a região retangular sucessivamente pela metade, a figura geométrica resultante será uma linha reta.
Exercícios relacionados
Demonstre, pela definição, os seguintes limites:
(a)
©
(e)
(b)
(d)
(f)
(a)
©
(e)
(b)
(d)
(f)
Determine, se existir, os seguintes limites:
(m)
(m)
Prove que a reta é contínua, ou seja, dados
, a função
é contínua.
Calcule, se existir, o valor de
, sendo a função
dada por
Em seguida, esboce o gráfico de
e determine o conjunto dos pontos onde
é contínua.