Prove que a reta é contínua, ou seja, dados , a função é contínua.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que uma reta, dada pela função , é contínua para quaisquer números reais e . Isso está ligado ao estudo de cálculo, especificamente ao conceito de continuidade de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e usar propriedades básicas de funções lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite de quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Queremos mostrar que isso vale para toda a reta , ou seja, para qualquer valor de em .

Passo 3

Vamos calcular o limite de quando se aproxima de :
Como e são constantes, podemos separar o limite:
Sabemos que:
Então substituindo:

Passo 4

Agora, vamos comparar esse resultado com o valor da função no ponto :
Percebemos que:
Isso mostra que o limite da função quando se aproxima de é igual ao valor da função em .

Resposta

Portanto, a função é contínua para todo .

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Considere uma região retangular (uma folha A4, por exemplo). Divida essa região pela metade. Em seguida, divida o que restou pela metade. Repita esse procedimento sucessiva e indefinidamente. No limite, ou seja, à medida que o número de divisões cresce, que figura geométrica resultará?
Demonstre, pela definição, os seguintes limites:
(a)
©
(e)
(b)
(d)
(f)
Calcule, se existir, o valor de , sendo a função dada por
Em seguida, esboce o gráfico de e determine o conjunto dos pontos onde é contínua.
Calcule os seguintes limites, especificando em cada passagem a propriedade/resultado utilizado:
©