Prove que a reta é contínua, ou seja, dados
, a função
é contínua.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que uma reta, dada pela função
, é contínua para quaisquer números reais
e
. Isso está ligado ao estudo de cálculo, especificamente ao conceito de continuidade de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e usar propriedades básicas de funções lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função
é contínua em um ponto
se o limite de
quando
se aproxima de
é igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Queremos mostrar que isso vale para toda a reta
, ou seja, para qualquer valor de
em
.
Passo 3
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
:
Como
e
são constantes, podemos separar o limite:
Sabemos que:
Então substituindo:
Passo 4
Agora, vamos comparar esse resultado com o valor da função no ponto
:
Percebemos que:
Isso mostra que o limite da função quando
se aproxima de
é igual ao valor da função em
.
Resposta
Portanto, a função
é contínua para todo
.
Exercícios relacionados
Considere uma região retangular (uma folha A4, por exemplo). Divida essa região pela metade. Em seguida, divida o que restou pela metade. Repita esse procedimento sucessiva e indefinidamente. No limite, ou seja, à medida que o número de divisões cresce, que figura geométrica resultará?
Demonstre, pela definição, os seguintes limites:
(a)
©
(e)
(b)
(d)
(f)
(a)
©
(e)
(b)
(d)
(f)
Calcule, se existir, o valor de
, sendo a função
dada por
Em seguida, esboce o gráfico de
e determine o conjunto dos pontos onde
é contínua.
Calcule os seguintes limites, especificando em cada passagem a propriedade/resultado utilizado:
©
©