Calcule, se existir, o valor do limite: lim x 0[x csc (2 x)cos (5 x)+(2 x-1)^2024].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim x 0[x csc (2 x)cos (5 x)+(2 x-1)^2024]
Aqui, estamos trabalhando com limites, que é um conceito fundamental no cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender algumas funções trigonométricas como a e a , além de propriedades de limites envolvendo potências.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a primeira parte da expressão:
x csc (2x)cos (5x)
A função xsin(2x) cdot cos(5x) é o inverso do seno, ou seja, x2x cdot 1 = 12 . Então, podemos reescrever a expressão como:
Agora, observamos que quando se aproxima de 0, se aproxima de e se aproxima de 1, pois .
Então, aproximadamente:
Portanto, o limite dessa parte é .

Passo 3

Agora, vamos analisar a segunda parte da expressão:
(2x - 1)^2024
Quando 2(0) - 1 = -1 se aproxima de 0, a expressão dentro do parêntese fica:
(-1)^2024
Então, temos:
Como 2024 é um número par, sempre resulta em 1. Portanto, o limite dessa parte é 1.

Passo 4

Agora que calculamos os limites das duas partes, podemos somá-los para encontrar o limite total:
12 + 1 = 32

Resposta

O limite é .

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