Encontre o valor do limite (se existir): lim x infty(e^x+x^2e^x-x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para encontrarmos o valor de lim x infty(e^x+x^2e^x-x). Aqui, estamos trabalhando com limites no infinito, envolvendo funções exponenciais e polinomiais. Para resolver, vamos precisar entender como essas funções se comportam quando cresce muito.

Passo 2

Primeiro, vamos observar quais termos dominam quando vai para infinito. Sabemos que a função exponencial cresce muito mais rápido do que qualquer polinômio, como ou . Isso significa que, para valores muito grandes de , será muito maior que e .

Passo 3

Com isso em mente, vamos simplificar a expressão fatorando e^x + x^2e^x - x = e^x(1 + x^2e^x)e^x(1 - xe^x) tanto no numerador quanto no denominador:

Passo 4

Agora, vamos analisar os termos que ficam entre parênteses. À medida que x^2e^x 0 e xe^x 0 tende ao infinito:
1 + 01 - 0 = 11 = 1
Portanto, a expressão simplifica para:

Resposta

O valor do limite é .

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