Calcule, se existir, o valor do limite: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado ao conteúdo de limites em cálculo diferencial. Para resolver, vamos precisar aplicar a Regra de L’Hôpital, que é usada quando temos uma indeterminação do tipo ou .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador quando se aproxima de 0:
  • Numerador: . Quando , . Então, o numerador fica , que tende a 0.
  • Denominador: . Quando , (usando a aproximação para próximo de 0) e . Então, o denominador fica aproximadamente , que também tende a 0.
Como tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0, podemos usar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital, que nos diz que:
desde que o limite da direita exista.
Primeiro, vamos derivar o numerador e o denominador em relação a .
  • Derivada do numerador :
  • Derivada do denominador :
    Usamos a regra do produto:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite das derivadas quando :
  • Numerador derivado:
  • Denominador derivado:

Resposta

Portanto, o limite é:

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Encontre o valor do limite (se existir): .
Calcule, se existir, o valor do limite: .
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