Calcule, se existir, o valor do limite: lim x 0(x+x cos (3 x)sen(2 x) cos (3 x)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado ao conteúdo de limites em cálculo diferencial. Para resolver, vamos precisar aplicar a Regra de L’Hôpital, que é usada quando temos uma indeterminação do tipo ou .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador quando se aproxima de 0:
  • Numerador: . Quando , . Então, o numerador fica , que tende a 0.
  • Denominador: . Quando , (usando a aproximação para próximo de 0) e . Então, o denominador fica aproximadamente , que também tende a 0.
Como tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0, podemos usar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital, que nos diz que:
limx a f(x)g(x) = limx a f'(x)g'(x)
desde que o limite da direita exista.
Primeiro, vamos derivar o numerador e o denominador em relação a f'(x) = 1 + cos(3x) + x times (-3 sen(3x)) = 1 + cos(3x) - 3x sen(3x) .
  • Derivada do numerador g'(x) = cos(2x) times 2 times cos(3x) + sen(2x) times (-3 sen(3x)) = 2 cos(2x) cos(3x) - 3 sen(2x) sen(3x) :
  • Derivada do denominador :
    Usamos a regra do produto:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite das derivadas quando limx 0 (1 + cos(3x) - 3x sen(3x)) = 1 + cos(0) - 0 = 1 + 1 = 2 :
  • Numerador derivado:
  • Denominador derivado:

Resposta

Portanto, o limite é:

Exercícios relacionados