Calcule, se existir, o valor do limite:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado ao conteúdo de limites em cálculo diferencial. Para resolver, vamos precisar aplicar a Regra de L’Hôpital, que é usada quando temos uma indeterminação do tipo
ou
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador quando
se aproxima de 0:
-
Numerador:
. Quando , . Então, o numerador fica , que tende a 0. -
Denominador: . Quando
, (usando a aproximação para próximo de 0) e . Então, o denominador fica aproximadamente , que também tende a 0.
Como tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0, podemos usar a Regra de L’Hôpital.
Passo 3
Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital, que nos diz que:
desde que o limite da direita exista.
Primeiro, vamos derivar o numerador e o denominador em relação a
.
-
Derivada do numerador
: -
Derivada do denominador :Usamos a regra do produto:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite das derivadas quando
:
-
Numerador derivado:
-
Denominador derivado:
Resposta
Portanto, o limite é:
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Encontre o valor do limite (se existir):
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Calcule, se existir, o valor do limite:
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Calcule, se existir, o valor do limite:
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