Calcule, se existir, o valor do limite: lim x -1(x^2+4 x+3x^2-1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Aqui a gente está lidando com limites de funções racionais, que envolvem polinômios no numerador e no denominador. Para resolver isso, vamos precisar fatorar os polinômios e simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar tanto o numerador quanto o denominador. Isso ajuda a ver se tem algum fator que pode ser cancelado, simplificando a expressão.
O numerador é . Vamos fatorar:
Procuramos dois números que multiplicados dão 3 e somados dão 4. Esses números são 1 e 3.
Então, .
Agora, o denominador é . Isso é uma diferença de quadrados, que sempre pode ser fatorada assim:
.

Passo 3

Agora que fatoramos, vamos reescrever o limite com esses fatores:
lim x -1((x + 1)(x + 3)(x - 1)(x + 1))
Perceba que o fator (x + 1)(x + 3)(x - 1)(x + 1) = x + 3x - 1 aparece tanto no numerador quanto no denominador. Se , podemos cancelar esse fator:

Passo 4

Agora, com a expressão simplificada -1 + 3-1 - 1 = 2-2 = -1 , podemos calcular o limite substituindo por :

Resposta

O valor do limite é .

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