Calcule, se existir, o valor do limite: lim x 1(x^2-2 x+1x^2-1+(1-2 x)^99)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim x 1(x^2-2 x+1x^2-1+(1-2 x)^99)
Aqui, vamos usar conceitos de limites e álgebra para simplificar a expressão e encontrar o valor do limite quando se aproxima de 1.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração:
x^2 - 2x + 1x^2 - 1
O numerador x^2 - 2x + 1 = (x - 1)(x - 1) = (x - 1)^2 pode ser fatorado como x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) , porque:
Já o denominador é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada como :

Passo 3

Agora, substituímos as fatorações na fração:
(x - 1)^2(x - 1)(x + 1)
Podemos cancelar um (x - 1)x + 1 do numerador e do denominador (desde que ):

Passo 4

Agora, calculamos o limite dessa nova expressão quando limx to 1 x - 1x + 1 = 1 - 11 + 1 = 02 = 0 se aproxima de 1:

Passo 5

Em seguida, vamos calcular o limite da segunda parte da expressão original:
limx to 1 (1 - 2x)^99
Substituindo (1 - 2 cdot 1)^99 = (-1)^99 = -1 :

Resposta

Somando os dois limites que encontramos:
0 + (-1) = -1
Portanto, o valor do limite é -1.

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